Moyenne, médiane, quartiles et boîtes
L'essentiel du cours (6 notions)
Indicateurs d'une série brute
Définition : La médiane $M$ partage la série ordonnée en deux parties d'égaux effectifs. $Q_1$ et $Q_3$ sont les plus petites valeurs ayant au moins $25\%$ et $75\%$ des données inférieures ou égales.
Propriété : La moyenne $\bar{x}$ est sensible aux valeurs extrêmes, alors que la médiane $M$ est un indicateur de position robuste.
Exemple : Série $2, 3, 5, 7, 8$ : moyenne $\bar{x} = 5$, médiane $M = 5$, $Q_1 = 3$ et $Q_3 = 7$.
Indicateurs pour données par classes
Définition : Pour une classe $[a ; b[$, le centre $x_i = \frac{a+b}{2}$ est la valeur représentative utilisée pour calculer la moyenne de données regroupées.
Méthode : 1. Dresser le tableau des effectifs cumulés croissants. 2. Repérer la classe où l'effectif atteint $50\%$ (médiane), $25\%$ ($Q_1$) ou $75\%$ ($Q_3$). 3. Utiliser les centres pour la moyenne.
Exemple : Pour la classe $[10 ; 20[$, le centre vaut $x_i = \frac{10+20}{2} = 15$.
Comparaison par boîtes à moustaches
Définition : Une boîte à moustaches résume une série par 5 indicateurs : $V_{\min}, Q_1, M, Q_3, V_{\max}$. La boîte centrale contient $50\%$ de la population.
Propriété : L'écart interquartile $Q_3 - Q_1$ mesure la dispersion. Comparer deux séries nécessite de confronter les médianes (position) et la longueur des boîtes (dispersion).
Exemple : Une boîte plus courte indique des données plus concentrées autour de la médiane.
Moyenne par classes d'amplitude égale
Propriété : On suppose que les valeurs de chaque classe $[a ; b[$ sont toutes égales au centre de la classe $x_i = \frac{a+b}{2}$.
Formule : $\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{N}$
Méthode : 1. Calculer le centre $x_i$ de chaque classe. 2. Multiplier chaque centre par l'effectif $n_i$ de la classe. 3. Sommer les produits et diviser par l'effectif total $N$.
Classe médiane d'une série continue
Définition : La classe médiane est le premier intervalle $[a ; b[$ dont l'effectif cumulé croissant atteint ou dépasse $50\%$ de l'effectif total $N$.
Méthode : 1. Calculer l'effectif total $N$ et le rang $\frac{N}{2}$. 2. Construire la ligne des effectifs cumulés croissants. 3. Identifier la première classe atteignant ou dépassant le rang $\frac{N}{2}$.
Exemple : Si $N=80$, la classe médiane est la classe contenant la $40^{\text{e}}$ donnée.
Linéarité de la moyenne
Propriété : Si toutes les données $x_i$ subissent la transformation affine $y_i = a x_i + b$, la nouvelle moyenne vérifie $\bar{y} = a \bar{x} + b$.
Formule : $\bar{y} = a \bar{x} + b$
Exemple : Si $y_i = 1{,}1 x_i + 2$, la nouvelle moyenne est $\bar{y} = 1{,}1 \bar{x} + 2$.
On a relevé les notes sur $20$ obtenues par $7$ élèves lors d'un devoir de mathématiques :
$14$ ; $8$ ; $19$ ; $6$ ; $12$ ; $15$ ; $9$
En ordonnant la série par ordre croissant, déterminer la médiane de cette série de notes.
Saisir la valeur de la médiane.
On a représenté ci-dessous les boîtes à moustaches synthétisant les notes obtenues par deux classes (Classe A et Classe B) lors d'un devoir gradué de $0$ à $20$.
Déterminer la différence entre la note médiane de la classe B et la note médiane de la classe A (médiane de B $-$ médiane de A).
Saisir la valeur de la différence.
On donne la répartition des durées de communication (en minutes) de 10 abonnés d'un opérateur téléphonique :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{Durée (en min)} & [0 ; 4[ & [4 ; 8[ & [8 ; 12[ \\ \hline \text{Effectif} & 3 & 5 & 2 \\ \hline \end{array}$$
En calculant d'abord le centre de chaque classe, déterminer la moyenne de cette série statistique.
Saisir la valeur de la moyenne sous forme décimale.
Voici la répartition des notes obtenues par un groupe d'élèves lors d'un devoir :
| Note $x_i$ | 8 | 10 | 14 | 18 |
|---|---|---|---|---|
| Effectif $n_i$ | 3 | 5 | 8 | 4 |
Calculer la moyenne de cette série statistique.
Saisir la moyenne de la série sous forme décimale.
Les diagrammes en boîte ci-dessous représentent les distributions de deux séries statistiques, A et B.
Saisir la différence entre l'écart interquartile de la série A et celui de la série B.
Un professeur a relevé les notes sur 20 d'un groupe de 8 élèves :
6 ; 11 ; 15 ; $x$ ; 9 ; 14 ; 18 ; 7
Si l'ensemble des points accumulés par ces 8 élèves était réparti de manière égale entre eux, chacun obtiendrait 11,5.
Saisir la valeur de $x$.
Un professeur ajuste les notes d'un devoir. La note transformée $y$ est obtenue à partir de la note initiale $x$ selon la formule $y = 1{,}1 x + 1{,}5$.
La moyenne initiale de la classe à ce devoir est égale à $12$.
Déterminer la moyenne des notes transformées.
Saisir la valeur de la nouvelle moyenne.
Un responsable étudie la durée quotidienne de communication (en minutes) de 20 employés d'une entreprise. Les résultats sont regroupés dans le tableau ci-dessous :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{Durée (min)} & [0 ; 10[ & [10 ; 20[ & [20 ; 30[ & [30 ; 40[ \\ \hline \text{Effectif} & 2 & 5 & 8 & 5 \\ \hline \end{array}$$En déterminant d'abord le centre de chaque classe, calculer la durée moyenne quotidienne de communication.
Saisir la moyenne de cette série statistique.
Une étude statistique donne la répartition des durées de trajet (en minutes) des salariés d'une entreprise :
| Durée (en min) | $[0 ; 10[$ | $[10 ; 20[$ | $[20 ; 30[$ | $[30 ; 40[$ |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | 8 | 14 | 20 | 10 |
Déterminer la classe médiane de cette série statistique.
Saisir la borne inférieure de la classe médiane.
Une étude porte sur le temps de trajet quotidien (en minutes) de $40$ salariés d'une entreprise. Les résultats sont regroupés dans le tableau ci-dessous :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{Temps (min)} & [10 ; 20[ & [20 ; 30[ & [30 ; 40[ & [40 ; 50[ \\ \hline \text{Effectif} & 8 & 12 & 14 & ? \\ \hline \end{array}$$
En supposant que les données sont réparties de manière uniforme à l'intérieur de chaque intervalle, déterminer la durée moyenne de trajet de ces salariés.
Saisir la valeur de la durée moyenne (en minutes).
Une étude porte sur la durée du trajet quotidien (en minutes) des salariés d'une entreprise. Les résultats sont regroupés dans le tableau ci-dessous, où $k$ désigne un nombre entier naturel d'employés :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{Durée (min)} & [0 ; 15[ & [15 ; 30[ & [30 ; 45[ & [45 ; 60[ \\ \hline \text{Effectif} & 12 & 18 & k & 10 \\ \hline \end{array}$$Par une justification basée sur la définition de la classe médiane et les effectifs cumulés, déterminer le seuil à partir duquel la classe $[30 ; 45[$ devient la classe médiane de cette série.
Saisir la valeur minimale de l'entier $k$.
Lors d'un devoir de mathématiques, la moyenne des notes obtenues par les élèves d'une classe est de $10{,}4$ sur $20$.
Pour ajuster les résultats, l'enseignant applique la même règle de calcul à chaque note : il multiplie la note initiale par un nombre réel strictement positif $k$, puis il ajoute $1{,}6$ point au résultat.
Après cette modification, la nouvelle moyenne de la classe s'élève exactement à $14{,}6$ sur $20$.
En justifiant votre démarche, déterminer la valeur exacte du coefficient $k$.
Saisir la valeur du coefficient k.