Exercice : Moyenne, médiane, quartiles et boîtes

Étape 1

Exprimons l'effectif total $N$ de la population en fonction de $k$ : $$N = 12 + 18 + k + 10 = 40 + k$$

Étape 2

Déterminons l'effectif cumulé des durées strictement inférieures à $30$ minutes. Il correspond à la somme des effectifs des deux premières classes : $$12 + 18 = 30$$

Étape 3

Par définition, la classe $[30 ; 45[$ est la classe médiane si l'effectif cumulé des valeurs qui la précèdent est strictement inférieur à la moitié de l'effectif total $\frac{N}{2}$. Cela garantit que la $50\%$-ième valeur appartient à la classe $[30 ; 45[$.

Étape 4

On pose donc l'inéquation : $$30 < \frac{N}{2}$$ Ce qui équivaut à : $$30 < \frac{40 + k}{2}$$

Étape 5

En multipliant chaque membre par $2$, on obtient : $$60 < 40 + k$$ D'où : $$k > 20$$

Étape 6

Le paramètre $k$ représentant un nombre entier d'employés, la plus petite valeur entière strictement supérieure à $20$ est $k = 21$.

Étape 7

Vérification pour $k = 21$ : l'effectif total est $N = 61$, d'où $\frac{N}{2} = 30{,}5$. L'effectif cumulé à la fin de la classe $[15 ; 30[$ est $30 < 30{,}5$, et l'effectif cumulé à la fin de $[30 ; 45[$ est $30 + 21 = 51 \ge 30{,}5$. La classe $[30 ; 45[$ est donc bien la classe médiane.