Calculs dans le triangle rectangle (Pythagore et Trigonométrie)
L'essentiel du cours (4 notions)
Théorème de Pythagore (calcul direct)
Propriété : Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Méthode : • Hypoténuse : $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ • Côté de l'angle droit : $a = \sqrt{c^2 - b^2}$
Exemple : Côtés de l'angle droit : $3\text{ cm}$ et $4\text{ cm}$. Hypoténuse = $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\text{ cm}$.
Formules des rapports trigonométriques
Méthode : Dans un triangle rectangle : • $\cos(\text{angle}) = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}$ • $\sin(\text{angle}) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}}$ • $\tan(\text{angle}) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}$
Exemple : Dans $ABC$ rectangle en $A$ : $\cos(\widehat{ABC}) = \frac{AB}{BC}$ et $\tan(\widehat{ABC}) = \frac{AC}{AB}$.
Calculer une longueur en trigonométrie
Méthode : 1. Repérer l'angle connu et le rôle des deux côtés (opposé, adjacent, hypoténuse). 2. Écrire le rapport adapté et isoler la longueur cherchée.
Exemple : Si $\sin(30^\circ) = \frac{AC}{10}$, alors $AC = 10 \times \sin(30^\circ) = 5\text{ cm}$.
Calculer un angle en trigonométrie
Méthode : 1. Écrire le rapport trigonométrique avec les deux côtés connus. 2. Appliquer la fonction réciproque (arccos, arcsin ou arctan) à la calculatrice.
Exemple : Si $\cos(\widehat{ABC}) = \frac{4}{5}$, alors $\widehat{ABC} = \arccos\left(\frac{4}{5}\right) \approx 36{,}9^\circ$.
On considère le triangle $RST$ rectangle en $R$ représenté ci-dessous.
En repérant le côté opposé à l'angle $\widehat{RST}$ et l'hypoténuse du triangle, déterminer quelle formule littérale est exacte parmi les propositions suivantes :
- 1.$\sin(\widehat{RST}) = \dfrac{RS}{ST}$
- 2. $\sin(\widehat{RST}) = \dfrac{RT}{ST}$
- 3. $\sin(\widehat{RST}) = \dfrac{RT}{RS}$
- 4. $\sin(\widehat{RST}) = \dfrac{RS}{RT}$
Saisir le numéro de la réponse correcte.
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, on donne $AB = 5\text{ cm}$ et $BC = 13\text{ cm}$.
En calculant d'abord $AC^2$, déterminer la longueur du côté $[AC]$.
Saisir la longueur $AC$ en cm.
On considère le triangle $KLM$ rectangle en $K$ représenté ci-dessous.
On donne le rapport de longueurs suivant : $$\dfrac{KM}{LM}$$
Parmi les quatre propositions ci-dessous, déterminer celle qui est égale à ce rapport :
- 1. $\cos(\widehat{KLM})$
- 2. $\tan(\widehat{KLM})$
- 3. $\cos(\widehat{KML})$
- 4. $\sin(\widehat{KML})$
Saisir le numéro de la proposition correcte.
On considère la figure ci-dessous représentant un triangle $ABC$ rectangle en $A$.
On donne $AB = 9\text{ cm}$ et $BC = 15\text{ cm}$.
Saisir la longueur $AC$ en centimètres :
On considère la figure ci-contre composée de deux triangles rectangles $ABC$ et $ACD$.
- Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, avec $AB = 3\text{ cm}$ et $BC = 4\text{ cm}$.
- Le triangle $ACD$ est rectangle en $C$, avec $CD = 12\text{ cm}$.
Calculer la longueur $AD$ en cm. Saisir la valeur de $AD$.
Sur la figure ci-dessous, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ et le point $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$.
On cherche l'expression de $\sin\left(\widehat{BAH}\right)$ en fonction des côtés du triangle $ABC$.
Voici quatre propositions :
- 1. $\dfrac{AC}{BC}$
- 2. $\dfrac{AB}{BC}$
- 3. $\dfrac{AH}{AC}$
- 4. $\dfrac{AB}{AC}$
Saisir le numéro de la proposition correcte.
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB = 6\text{ cm}$ et $BC = 10\text{ cm}$.
À l'aide de la trigonométrie, déterminer la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$.
Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$, arrondie au degré près ?
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, on donne $BC = 8\text{ cm}$ et $\widehat{ABC} = 35^\circ$.
À l'aide de la trigonométrie, calculer la longueur du côté $AC$. Arrondir le résultat au dixième.
Saisir la valeur arrondie au dixième de la longueur $AC$ :
On considère la figure ci-dessous représentant un triangle $ABC$ rectangle en $A$, dans lequel l'angle $\widehat{ABC}$ mesure $60^\circ$.
On souhaite que la longueur du côté $[AB]$ soit égale à $3{,}4\text{ cm}$.
À l'aide de la trigonométrie, déterminer la longueur que doit mesurer l'hypoténuse $[BC]$.
Données : $\cos(60^\circ) = 0{,}5$ ; $\sin(60^\circ) \approx 0{,}87$ ; $\tan(60^\circ) \approx 1{,}73$.
Saisir la longueur $BC$ en centimètres.
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB = 4\text{ cm}$ et $BC = 8\text{ cm}$.
À l'aide du cosinus, calculer la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$ en degrés.
Saisir la mesure de l'angle en degrés.
On considère la figure ci-contre composée de deux triangles rectangles $ACD$ et $ABC$.
On donne les longueurs suivantes : $AD = 4{,}5\text{ cm}$, $CD = 6\text{ cm}$ et $AB = 10\text{ cm}$.
Le triangle $ACD$ est rectangle en $D$ et le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
Calculer la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$ en degrés, en arrondissant le résultat au dixième.
Saisir la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$ sous la forme d'un nombre décimal arrondi au dixième.
On considère la figure ci-dessous composée de deux triangles rectangles, $ABC$ rectangle en $B$ et $ACD$ rectangle en $C$.
Les longueurs connues sont $AB = 3\text{ cm}$ et $BC = 4\text{ cm}$. L'angle $\widehat{CAD}$ mesure $28^\circ$.
Calculer la longueur du segment $[CD]$, en arrondissant le résultat au dixième de centimètre.
Saisir la valeur arrondie au dixième de $CD$ (en cm) :
Sur la figure ci-dessous, qui n'est pas à l'échelle :
- le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ ;
- le triangle $ACD$ est rectangle en $C$ ;
- $\widehat{BAC} = 60^\circ$ et $\widehat{ADC} = 30^\circ$ ;
- $AD = 14\text{ cm}$.
On donne : $\sin(30^\circ) = 0{,}5$ et $\cos(60^\circ) = 0{,}5$.
Déterminer la longueur du côté $[AB]$.
Saisir la longueur $AB$ en centimètres.