Probabilités et simulations aléatoires
L'essentiel du cours (1 notion)
Calcul de probabilités
Propriété : En équiprobabilité, la probabilité d'un événement $A$ est $P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$.
Méthode : Dénombrer les issues avec un tableau ou un arbre. Pour l'événement contraire : $P(\text{non } A) = 1 - P(A)$.
Exemple : Obtenir un chiffre pair avec un dé équilibré à $6$ faces donne $P(\text{pair}) = \frac{3}{6} = 0,5$.
Un sac contient $5$ boules rouges, $3$ boules vertes et $4$ boules bleues, toutes indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard dans ce sac.
En déterminant d'abord le nombre total de boules contenues dans le sac, calculer la probabilité d'obtenir une boule rouge.
Saisir la probabilité sous la forme d'une fraction irréductible.
On simule à l'aide d'un ordinateur le lancer d'un dé équilibré à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$.
On s'intéresse à l'événement $E$ : « Obtenir un nombre supérieur ou égal à $5$ ».
Le tableau ci-dessous donne les résultats de la simulation pour différents nombres de lancers :
- $100$ lancers : réalisé $38$ fois (fréquence observée $0{,}38$)
- $1\text{ }000$ lancers : réalisé $341$ fois (fréquence observée $0{,}341$)
- $10\text{ }000$ lancers : réalisé $3\text{ }331$ fois (fréquence observée $0{,}3331$)
Lorsque le nombre de lancers augmente, la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique de l'événement $E$.
Saisir la probabilité théorique de l'événement $E$ sous la forme d'une fraction irréductible.
Un sac contient $32$ billes indiscernables au toucher, qui sont soit rouges, soit vertes.
On tire au hasard une bille dans ce sac. La probabilité d'obtenir une bille rouge est égale à $\dfrac{3}{8}$.
Saisir le nombre de billes rouges contenues dans le sac.
Un sac contient $50$ jetons indiscernables au toucher. Certains jetons sont rouges et les autres sont noirs.
Pour estimer la composition du sac, un ordinateur a simulé $10\,000$ tirages au hasard d'un jeton avec remise. Les résultats sont présentés dans le tableau ci-dessous :
$$\begin{array}{|l|c|c|}\hline\text{Couleur du jeton} & \text{Rouge} & \text{Noir} \\\hline\text{Nombre d'apparitions} & 2\,614 & 7\,386 \\\hline\end{array}$$En calculant d'abord la fréquence observée d'apparition des jetons rouges arrondie au centième, estimer le nombre de jetons rouges contenus dans le sac.
Saisir le nombre de jetons rouges.
Un sac opaque contient 7 jetons rouges, 8 jetons bleus et 5 jetons verts, tous indiscernables au toucher.
Un logiciel de simulation réalise $10\,000$ tirages au sort avec remise d'un jeton dans ce sac. La fréquence observée d'obtention d'un jeton rouge lors de cette simulation est égale à $0{,}354$.
Calculer la différence entre le nombre de jetons rouges effectivement obtenus lors de cette simulation et le nombre théorique de jetons rouges attendu sur ces $10\,000$ tirages.
Saisir la valeur de cet écart.
Un sac contient $5$ boules indiscernables au toucher : $3$ boules rouges et $2$ boules bleues.
On tire une première boule au hasard, on ne la remet pas dans le sac, puis on tire une seconde boule au hasard.
Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur ?
Saisir la probabilité sous la forme d'une fraction irréductible.
Un sac contient des jetons de trois couleurs : rouge, bleu et vert.
- Le sac contient $2$ jetons rouges.
- Le nombre de jetons bleus est égal au nombre de jetons rouges.
- Si l'on tire un seul jeton au hasard, la probabilité d'obtenir un jeton vert est égale à $\frac{1}{3}$.
On tire successivement et sans remise deux jetons de ce sac.
Quelle est la probabilité d'obtenir deux jetons de couleurs différentes ?
Saisir la probabilité sous la forme d'une fraction irréductible.
On lance simultanément deux dés cubiques équilibrés à six faces, numérotées de 1 à 6. On calcule la somme des deux nombres obtenus.
La probabilité que cette somme soit supérieure ou égale à un nombre entier $n$ est égale à $\dfrac{5}{18}$.
Saisir la valeur de $n$.