Théorème de Thalès et triangles semblables
L'essentiel du cours (2 notions)
Théorème de Thalès en papillon
Propriété : Si $(AD)$ et $(BC)$ se coupent en $O$ et si $(AB) \parallel (CD)$, alors $\frac{OA}{OD} = \frac{OB}{OC} = \frac{AB}{CD}$.
Méthode : 1. Vérifier les alignements et le parallélisme. 2. Écrire l'égalité des trois quotients. 3. Calculer la longueur inconnue avec un produit en croix.
Exemple : Si $\frac{OA}{3} = \frac{4}{6}$, alors $OA = \frac{3 \times 4}{6} = 2\text{ cm}$.
Propriétés des triangles semblables
Définition : Deux triangles sont semblables si leurs angles sont deux à deux de même mesure.
Propriété : Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs de leurs côtés homologues sont proportionnelles.
Méthode : Ranger les côtés homologues dans un tableau de proportionnalité pour calculer des longueurs ou vérifier des angles.
Sur la figure ci-dessous, les points $A$, $M$, $B$ sont alignés dans cet ordre, tout comme les points $A$, $N$, $C$. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
On donne les longueurs suivantes :
- $AM = 4\text{ cm}$
- $AB = 10\text{ cm}$
- $MN = 6\text{ cm}$
À l'aide du théorème de Thalès, calculer la longueur $BC$.
Saisir la valeur de la longueur $BC$ (en cm).
Sur la figure ci-dessous, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont sécantes en $O$, et les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles.
On donne les longueurs suivantes :
- $OA = 4\text{ cm}$
- $OB = 6\text{ cm}$
- $OC = 5\text{ cm}$
En utilisant le théorème de Thalès, calculer la longueur $OD$.
Saisir la valeur de la longueur $OD$ en cm.
Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables. Les sommets $A$, $B$ et $C$ correspondent respectivement aux sommets $D$, $E$ et $F$.
On donne les longueurs suivantes :
- $AB = 4\text{ cm}$
- $BC = 7\text{ cm}$
- $AC = 5\text{ cm}$
- $DE = 6\text{ cm}$
En utilisant la proportionnalité des longueurs des côtés homologues, déterminer la longueur du côté $[EF]$.
Saisir la valeur de la longueur $EF$ (en cm) :
Sur la figure ci-dessous :
- Le point $D$ appartient au segment $[AB]$ ;
- Le point $E$ appartient au segment $[AC]$ ;
- Les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles.
On donne les longueurs suivantes : $AB = 7{,}5\text{ cm}$, $BC = 5\text{ cm}$ et $DE = 3\text{ cm}$.
À l'aide du théorème de Thalès, calculer la longueur $AD$ en centimètres.
Saisir la longueur $AD$ sous forme décimale :
Sur la figure ci-dessous, les droites $(AD)$ et $(BC)$ se coupent au point $O$, et les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
Les mesures connues sont $OA = 3\text{ cm}$, $OD = 8\text{ cm}$ et $CD = 12\text{ cm}$.En appliquant le théorème de Thalès, calculer la longueur du segment $[AB]$ permettant d'obtenir cette mesure.
Saisir la valeur de la longueur $AB$ en centimètres.
Les triangles $ABC$ et $DEF$ représentés ci-dessous sont semblables.
Les sommets $A$, $B$ et $C$ sont respectivement homologues aux sommets $D$, $E$ et $F$.
On donne les longueurs suivantes :
- $BC = 5\text{ cm}$
- $EF = 10\text{ cm}$
- $DE = 9\text{ cm}$
En utilisant la proportionnalité des côtés homologues, calculer la longueur $AB$ en centimètres.
Saisir la valeur de la longueur $AB$.
Sur la figure ci-dessous, les angles de même mesure sont indiqués par des codages identiques.
On donne les longueurs suivantes :
- $AB = 5\text{ cm}$, $BC = 4\text{ cm}$ et $AC = 6\text{ cm}$ ;
- $DF = 7{,}5\text{ cm}$ et $FE = 6\text{ cm}$.
Saisir la longueur $DE$ en cm :
Les triangles $ABC$ et $DEF$ représentés ci-dessous sont semblables. Les sommets $A$, $B$ et $C$ correspondent respectivement aux sommets $D$, $E$ et $F$.
Le périmètre du triangle $DEF$ est égal à $60\text{ cm}$.
Calculer la longueur du côté $[DF]$.
Saisir la longueur du côté $DF$ en cm.
Sur la figure ci-dessous, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont sécantes en $O$, et les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles.
Le triangle $OAC$ est rectangle en $A$. On donne $OA = 3\text{ cm}$, $AC = 4\text{ cm}$ et $OD = 10\text{ cm}$.
Calculer la longueur $OB$.
Saisir la valeur de la longueur $OB$ (en cm) :