Exercice : Théorème de Thalès et triangles semblables

Étape 1

Les angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{EDF}$ ont la même mesure par codage.

Étape 2

Les angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{DFE}$ ont la même mesure par codage.

Étape 3

Si deux triangles ont au moins deux paires d'angles deux à deux de même mesure, alors ils sont semblables. Les triangles $ABC$ et $DFE$ sont donc semblables.

Étape 4

Les sommets homologues sont $A$ et $D$, $B$ et $F$, ainsi que $C$ et $E$.

Étape 5

Les longueurs de leurs côtés homologues sont proportionnelles :

Étape 6

$$\frac{DF}{AB} = \frac{FE}{BC} = \frac{DE}{AC}$$

Étape 7

En substituant les valeurs connues, on obtient :

Étape 8

$$\frac{7{,}5}{5} = \frac{6}{4} = \frac{DE}{6}$$

Étape 9

On calcule le rapport de proportionnalité :

Étape 10

$$\frac{6}{4} = 1{,}5$$

Étape 11

On en déduit la longueur $DE$ :

Étape 12

$$DE = 1{,}5 \times 6 = 9\text{ cm}$$