Exercice : Probabilités et simulations aléatoires

Étape 1

Déterminons d'abord la composition du sac. Le sac contient $2$ jetons rouges et $2$ jetons bleus. Notons $V$ le nombre de jetons verts.

Étape 2

Le nombre total de jetons est donc $2 + 2 + V = 4 + V$. La probabilité de tirer un jeton vert lors d'un unique tirage est : $$\frac{V}{4 + V} = \frac{1}{3}$$

Étape 3

En utilisant l'égalité des produits en croix, on obtient : $$3 \times V = 1 \times (4 + V)$$ $$3V = 4 + V$$ $$2V = 4$$ $$V = 2$$ Le sac contient donc $2$ jetons rouges, $2$ jetons bleus et $2$ jetons verts, soit un total de $6$ jetons.

Étape 4

Déterminons à présent le nombre total d'issues pour le tirage de deux jetons sans remise. Pour le premier tirage, il y a $6$ choix possibles. Pour le second tirage, comme le jeton n'est pas remis, il reste $5$ choix possibles.

Étape 5

Le nombre total d'issues équiprobables est donc : $$6 \times 5 = 30$$

Étape 6

Calculons le nombre d'issues où les deux jetons sont de la même couleur : obtnir deux rouges donne $2 \times 1 = 2$ issues, deux bleus donne $2 \times 1 = 2$ issues, et deux verts donne $2 \times 1 = 2$ issues. Il y a donc $2 + 2 + 2 = 6$ issues où les deux jetons sont de la même couleur.

Étape 7

Le nombre d'issues favorables à l'obtention de deux jetons de couleurs différentes est donc : $$30 - 6 = 24$$

Étape 8

La probabilité d'obtenir deux jetons de couleurs différentes est égal à : $$\frac{24}{30} = \frac{4}{5}$$