Exercice triangle rectangle, Pythagore, trigonométrie — Calculs dans le triangle rectangle (Pythagore et Trigonométrie) (3ème)

★★ Avancé

On considère la figure ci-dessous composée de deux triangles rectangles, $ABC$ rectangle en $B$ et $ACD$ rectangle en $C$.

Les longueurs connues sont $AB = 3\text{ cm}$ et $BC = 4\text{ cm}$. L'angle $\widehat{CAD}$ mesure $28^\circ$.

Calculer la longueur du segment $[CD]$, en arrondissant le résultat au dixième de centimètre.

Saisir la valeur arrondie au dixième de $CD$ (en cm) :

Figure donnée à titre indicatif

✓

Réponse finale

2,7

Étape 1

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, on applique le théorème de Pythagore : $$AC^2 = AB^2 + BC^2$$

Étape 2

On remplace par les valeurs connues : $$AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$ D'où : $$AC = \sqrt{25} = 5\text{ cm}$$

Étape 3

Dans le triangle $ACD$ rectangle en $C$, le côté $[AC]$ est le côté adjacent à l'angle $\widehat{CAD}$ et le côté $[CD]$ est le côté opposé.

Étape 4

On utilise la tangente de l'angle $\widehat{CAD}$ : $$\tan(\widehat{CAD}) = \frac{CD}{AC}$$

Étape 5

En remplaçant par les données : $$\tan(28^\circ) = \frac{CD}{5}$$ D'où : $$CD = 5 \times \tan(28^\circ)$$

Étape 6

À la calculatrice : $$CD \approx 2{,}6585\text{ cm}$$ La valeur de $CD$ arrondie au dixième de centimètre est donc $2{,}7\text{ cm}$.

Méthode clé

Déterminer une longueur intermédiaire à l'aide d'un premier triangle rectangle avant d'appliquer la trigonométrie dans le second.

Piège à éviter

Confondre le côté adjacent et l'hypoténuse dans le triangle $ACD$, ou commettre une erreur d'arrondi sur la valeur finale.

Exercice : Calculs dans le triangle rectangle (Pythagore et Trigonométrie)