Exercice trigonométrie, sinus, triangle rectangle — Calculs dans le triangle rectangle (Pythagore et Trigonométrie) (3ème)

Automatisme

Sur la figure ci-dessous, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ et le point $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$.

On cherche l'expression de $\sin\left(\widehat{BAH}\right)$ en fonction des côtés du triangle $ABC$.

Voici quatre propositions :

1. $\dfrac{AC}{BC}$
2. $\dfrac{AB}{BC}$
3. $\dfrac{AH}{AC}$
4. $\dfrac{AB}{AC}$

Saisir le numéro de la proposition correcte.

Figure donnée à titre indicatif

Correction détaillée Étape par étape

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Réponse finale

Étape 1

Dans le triangle $ABH$ rectangle en $H$, les angles aigus sont complémentaires, donc : $$\widehat{BAH} = 90^\circ - \widehat{ABC}$$

Étape 2

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, les angles aigus sont également complémentaires, d'où : $$\widehat{BCA} = 90^\circ - \widehat{ABC}$$

Étape 3

On en déduit que les angles $\widehat{BAH}$ et $\widehat{BCA}$ ont la même mesure : $$\widehat{BAH} = \widehat{BCA}$$

Étape 4

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, le sinus de l'angle $\widehat{BCA}$ est le quotient de la longueur du côté opposé par la longueur de l'hypoténuse : $$\sin\left(\widehat{BCA}\right) = \dfrac{AB}{BC}$$

Étape 5

Par conséquent, on a bien : $$\sin\left(\widehat{BAH}\right) = \dfrac{AB}{BC}$$

Étape 6

La proposition correcte est donc la proposition 2.

Méthode clé

Dans un triangle rectangle avec une hauteur issue de l'angle droit, les deux angles aigus non droits qui se partagent l'angle droit sont respectivement égaux aux angles aigus opposés.

Piège à éviter

Confondre côté opposé et côté adjacent lors de l'application de la définition du sinus dans le triangle ABC.

Série en jeu !

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Exercice : Calculs dans le triangle rectangle (Pythagore et Trigonométrie)

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