Sens de variation et extrémums
L'essentiel du cours (4 notions)
Tableau de variations et courbe
Définition : Un tableau de variations résume les variations d'une fonction : une flèche montante $\nearrow$ indique la croissance, une flèche descendante $\searrow$ indique la décroissance.
Méthode : 1. Lire les bornes de l'intervalle sur l'axe des abscisses. 2. Repérer les phases où la courbe monte ou descend. 3. Placer les valeurs de $x$ et les images $f(x)$ aux extrémums.
Exemple : Si $f$ croît sur $[-2 ; 1]$ de $f(-2)=-3$ à $f(1)=4$, la courbe monte du point $(-2 ; -3)$ au point $(1 ; 4)$.
Extrémums d'une fonction sur intervalle
Définition : Le maximum (ou minimum) d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ est la plus grande (ou plus petite) valeur prise par $f(x)$ sur cet intervalle.
Méthode : 1. Repérer le point le plus haut (maximum) ou le plus bas (minimum) de la courbe. 2. Lire son ordonnée $y$ (valeur de l'extrémum) et son abscisse $x$ (où il est atteint).
Exemple : Si le point le plus haut de la courbe sur $[-3 ; 5]$ est $P(2 ; 7)$, le maximum de $f$ vaut $7$ et il est atteint en $x=2$.
Conjecturer des variations (outil numérique)
Méthode : 1. Saisir la formule de la fonction dans l'outil (calculatrice ou Python). 2. Ajuster la fenêtre d'affichage des axes. 3. Observer le tracé pour conjecturer les intervalles de croissance et décroissance.
Exemple : Pour $f(x)=x^3-3x$, l'affichage graphique sur $[-2 ; 2]$ permet de conjecturer que $f$ est croissante, puis décroissante, puis croissante.
Comparer des images par monotonie
Propriété : Une fonction strictement croissante conserve l'ordre des nombres ($a < b \implies f(a) < f(b)$). Une fonction strictement décroissante inverse l'ordre ($a < b \implies f(a) > f(b)$).
Exemple : Sur $]-\infty ; 0]$, la fonction carré est strictement décroissante. Comme $-5 < -2$, on inverse l'ordre : $(-5)^2 > (-2)^2$, soit $25 > 4$.
On considère la fonction inverse $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = \frac{1}{x}$.
On cherche le plus petit entier strictement positif $n$ tel que $f(n) < f(24)$.
Saisir la valeur de $n$.
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-4 ; 4]$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal.
Déterminer la différence entre le maximum absolu et le minimum absolu de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-4 ; 4]$.
Saisir la valeur numérique obtenue.
On a représenté ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3 ; 4]$.
Saisir la valeur du maximum de la fonction $f$ sur $[-3 ; 4]$.
On a représenté ci-dessous la courbe d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-4; 4]$.
Déterminer le minimum de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-1; 4]$.
Saisir la valeur du minimum.
On a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-5 ; 5]$.
Déterminer le maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-5 ; 2]$.
Saisir la valeur du maximum de $f$ sur l'intervalle $[-5 ; 2]$.
On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-6 ; 6]$ dont le tableau de variations est le suivant, où $k$ désigne un nombre réel :
$$\begin{array}{c|ccccccc} x & -6 & & -2 & & 3 & & 6 \\ \hline & & & 4 & & & & 2k+1 \\ f(x) & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\ & -3 & & & & -1 & & \end{array}$$On sait que le maximum absolu de la fonction $f$ sur $[-6 ; 6]$ est atteint en $x = 6$ et que sa valeur est supérieure de $10$ unités au minimum absolu de $f$ sur cet intervalle.
Saisir la valeur du paramètre $k$.
On considère la fonction $f$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est donnée ci-dessous sur l'intervalle $[-4 ; 4]$.
On note $a$ et $b$ (avec $a < b$) les deux solutions de l'équation $f(x) = 0$.
Saisir la valeur du minimum de la fonction $f$ sur l'intervalle $[a ; b]$.
On considère la fonction carré $f : x \mapsto x^2$, strictement décroissante sur l'intervalle $]-\infty\,; 0]$.
Soit $k$ un nombre entier relatif. On pose $a = k - 10$ et $b = 15 - 2k$.
On souhaite justifier l'inégalité $f(a) > f(b)$ en utilisant uniquement la décroissance de la fonction $f$ sur $]-\infty\,; 0]$. Pour cela, les deux nombres $a$ et $b$ doivent appartenir à l'intervalle $]-\infty\,; 0]$ et vérifier la condition $a < b$.
Saisir la valeur de l'entier $k$.