Exercice : Sens de variation et extrémums

Étape 1

Étape 1 : Détermination du minimum absolu de la fonction $f$ sur $[-6 ; 6]$.

Étape 2

D'après le tableau de variations, la fonction $f$ atteint des valeurs minimales locales aux points d'abscisses $x = -6$ et $x = 3$.

Étape 3

On observe que $f(-6) = -3$ et $f(3) = -1$. Comme $-3 < -1$, la plus petite valeur atteinte par la fonction sur l'intervalle $[-6 ; 6]$ est $-3$.

Étape 4

Le minimum absolu de $f$ sur $[-6 ; 6]$ est donc egal à $-3$.

Étape 5

Étape 2 : Détermination du maximum absolu de la fonction $f$.

Étape 6

L'énoncé indique que le maximum absolu de $f$ est supérieur de $10$ unités au minimum absolu. On calcule donc sa valeur : $$-3 + 10 = 7$$ Le maximum absolu de $f$ est donc égal à $7$.

Étape 7

Étape 3 : Calcul du paramètre $k$.

Étape 8

On sait que ce maximum absolu est atteint en $x = 6$. D'après le tableau de variations, on a $f(6) = 2k + 1$.

Étape 9

On obtient ainsi l'équation : $$2k + 1 = 7$$ Ce qui équivaut à $2k = 6$, soit $k = 3$.