Exercice : Sens de variation et extrémums

Étape 1

La fonction carré $f : x \mapsto x^2$ est strictement décroissante sur l'intervalle $]-\infty\,; 0]$. Par définition du sens de variation, pour deux réels $a$ et $b$ de cet intervalle, si $a < b$, alors $f(a) > f(b)$.

Étape 2

Pour pouvoir appliquer cette propriété, $a$ et $b$ doivent appartenir à $]-\infty\,; 0]$, c'est-à-dire être inférieurs ou égaux à $0$. Comme la condition $a < b$ est imposée, l'inégalité $b \le 0$ garantit automatiquement que $a < 0$.

Étape 3

Résolution de la condition $b \le 0$ : $$15 - 2k \le 0 \iff 2k \ge 15 \iff k \ge 7{,}5$$

Étape 4

Résolution de la condition $a < b$ : $$k - 10 < 15 - 2k \iff 3k < 25 \iff k < \frac{25}{3}$$ À la calculatrice, $\frac{25}{3} \approx 8{,}33$.

Étape 5

Synthèse des conditions : l'entier $k$ doit vérifier l'encadrement $$7{,}5 \le k < \frac{25}{3}$$ Le seul nombre entier relatif appartenant à cet intervalle est $k = 8$.

Étape 6

Vérification : pour $k = 8$, on a $a = 8 - 10 = -2$ et $b = 15 - 2 \times 8 = -1$. On a bien $-2 < -1 \le 0$. Comme $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,; 0]$, on obtient $f(-2) > f(-1)$, ce qui correspond à $(-2)^2 > (-1)^2$, c'est-à-dire $4 > 1$.