Propriétés théoriques et simulations

On considère la fonction Python suivante, destinée à simuler $n$ tirages d'un dé équilibré à 6 faces et à renvoyer la moyenne de l'échantillon obtenu :

from random import randint

def moyenne_echantillon(n):
    somme = 0
    for i in range(n):
        x = randint(1, 6)
        somme = somme + x
    return somme / n

Lors d'un essai avec $n = 5$, les tirages successifs générés par l'instruction randint(1, 6) sont : $2$, $5$, $1$, $6$ et $4$.

Saisir la valeur renvoyée par l'appel moyenne_echantillon(5) pour cet essai.

Pour estimer l'aire située sous la parabole d'équation $y = x^2$ sur l'intervalle $[0 ; 1]$, on utilise la fonction Python ci-dessous basée sur la méthode de Monte-Carlo :

import random

def monte_carlo_parabole(n):
    compteur = 0
    for i in range(n):
        x = random.random()
        y = random.random()
        if y <= x**2:
            compteur = compteur + 1
    return compteur / n

Lors d'une exécution de cette fonction pour $n = 500$ tirages dans le carré $[0 ; 1] \times [0 ; 1]$, la condition y <= x**2 a été vérifiée $168$ fois.

Saisir la valeur de l'estimation de l'aire obtenue par cet essai sous forme d'un nombre décimal.

On souhaite estimer l'aire du domaine géométrique situé sous la parabole d'équation $y = x^2$, au-dessus de l'axe des abscisses et pour $x \in [0 ; 2]$.

Pour cela, on réalise une simulation de Monte-Carlo en générant aléatoirement des points dans le rectangle défini par $0 \le x \le 2$ et $0 \le y \le 4$.

On considère l'algorithme écrit en Python ci-dessous :

import random

def estimation_aire(N):
    compteur = 0
    for i in range(N):
        x = random.uniform(0, 2)
        y = random.uniform(0, 4)
        if y <= x**2:
            compteur = compteur + 1
    return (compteur / N) * k

Afin que la fonction estimation_aire renvoie une estimation correcte de l'aire recherchée, quelle valeur numérique doit-on attribuer au paramètre $k$ ?

Saisir la valeur du paramètre $k$.

On considère le script Python suivant mettant en œuvre un algorithme de Monte-Carlo pour estimer la valeur du nombre $\pi$ :

import random

def monte_carlo(N):
    c = 0
    for i in range(N):
        x = random.random()
        y = random.random()
        if x**2 + y**2 <= 1:
            c = c + 1
    pi_estime = 4 * c / N
    return pi_estime

Lors d'une exécution de cette fonction avec un nombre total de tirages $N = 2500$, l'algorithme a renvoyé la valeur approchée $3{,}12$.

Déterminer le nombre de points $c$ ayant satisfait la condition x**2 + y**2 <= 1 lors de cette simulation.

Saisir la valeur de c.

Soit $X$ une variable aléatoire dont l'espérance est $E(X) = 3$ et la variance est $V(X) = 16$.

Déterminer la valeur de $E(X^2)$

Saisir la valeur de $E(X^2)$.

On considère une variable aléatoire $X$ dont la loi de probabilité est définie par le tableau suivant :

Un chercheur simule $N$ échantillons de taille $n$ de cette variable aléatoire et étudie la proportion des cas où la moyenne observée $m$ appartient à l'intervalle $[\mu - d(n) ; \mu + d(n)]$, où $\mu$ est l'espérance de $X$ et $d(n) = \dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ représente le seuil de tolérance théorique avec $\sigma$ l'écart-type de $X$.

Déterminer la plus petite valeur entière de la taille d'échantillon $n$ pour laquelle le seuil de tolérance $d(n)$ est inférieur ou égal à $0{,}35$.

Saisir cette valeur minimale de $n$.

On considère une variable aléatoire d'espérance $\mu = 12$ et d'écart type $\sigma = 5$. On simule $10$ échantillons de taille $n = 100$ issus de cette variable aléatoire, et on enregistre leurs moyennes respectives dans une liste Python.

On définit la fonction Python suivante :

def proportion_ecart(moyennes, mu, sigma, n):  
    seuil = 2 * sigma / (n**0.5)
    compteur = 0
    for m in moyennes:
        if abs(m - mu) <= seuil:
            compteur += 1
    return compteur / len(moyennes)

moyennes_obtenues = [11.8, 12.3, 10.8, 12.1, 11.4, 13.2, 12.5, 11.9, 11.1, 12.7]
p = proportion_ecart(moyennes_obtenues, 12, 5, 100)

Déterminer la valeur numérique de la variable p obtenue après l'exécution du script.

Saisir la valeur de $p$ sous forme d'un nombre décimal.

Soit $X$ une variable aléatoire réelle telle que $E(X) = 4$ et $E(X^2) = 20$.

Pour tout nombre réel strictement positif $k$, on définit la variable aléatoire $Y = k X + 3$.

On cherche à déterminer la valeur du paramètre $k$ pour laquelle l'espérance et la variance de $Y$ sont égales.

Saisir la valeur exacte du réel $k$.

On considère le script Python ci-dessous permettant de simuler une variable aléatoire $X$ et de calculer la moyenne d'un échantillon de taille $n$ :

import random

def simuler_X():
    d = random.randint(1, 6)
    if d == 6:
        return 15
    elif d >= 4:
        return 6
    else:
        return k

def moyenne_echantillon(n):
    somme = 0
    for i in range(n):
        somme = somme + simuler_X()
    return somme / n

On sait que l'espérance théorique de la variable aléatoire $X$ simulée par ce programme est égale à $6$.

Déterminer la valeur de la constante entière $k$ utilisée dans la fonction simuler_X().

Saisir la valeur de k.

Une étude statistique s'appuie sur une variable aléatoire $X$ suivant une loi de Bernoulli de paramètre $p$, avec $p < 0{,}5$. On s'intéresse à la moyenne $m$ d'un échantillon de taille $n = 100$.

Le script Python ci-dessous calcule la proportion d'échantillons pour lesquels la différence entre la moyenne observée $m$ et l'espérance $\mu$ est inférieure ou égale au seuil théorique $\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$, où $\sigma$ est l'écart-type de $X$.

import random

def simulation(N, n, p):
    mu = p
    seuil = 0.08
    succes = 0
    for _ in range(N):
        echantillon = [1 if random.random() < p else 0 for _ in range(n)]
        m = sum(echantillon) / n
        if abs(m - mu) <= seuil:
            succes += 1
    return succes / N

En exploitant la valeur attribuée à la variable seuil pour $n = 100$, déterminer la valeur initiale du paramètre $p$.

Saisir la valeur de $p$.

On s'intéresse à une méthode d'estimation géométrique de la surface sous une courbe à l'aide d'un algorithme probabiliste.

Propriété admise : L'aire du domaine délimité par la parabole d'équation $y = x^2$, l'axe des abscisses et la droite d'équation $x = 2$ est égale à $\dfrac{8}{3}$ unités d'aire.

Soit $k$ un entier strictement supérieur à $4$. On génère aléatoirement des points $M(X, Y)$ répartis de manière uniforme dans le rectangle $R = [0 ; 2] \times [0 ; k]$.

Un point $M(X, Y)$ appartient au domaine situé sous la parabole si ses coordonnées vérifient la condition $Y \leqslant X^2$.

Le script Python ci-dessous simule $1\ 350$ tirages indépendants de points dans ce rectangle :

import random

def simulation(k):
    compteur = 0
    for i in range(1350):
        x = random.uniform(0, 2)
        y = random.uniform(0, k)
        if y <= x**2:
            compteur = compteur + 1
    return compteur

On cherche à déterminer la valeur du paramètre $k$ pour laquelle le nombre théorique moyen de points tombant sous la parabole lors de cette simulation est égal à $180$.

Saisir la valeur de $k$.

Soit $X$ une variable aléatoire réelle dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :

On définit sur $\mathbb{R}$ la fonction $f$ par $f(x) = E((X - x)^2)$.

Propriété admise : Pour toute variable aléatoire $X$ et tout réel $x$, la fonction $f$ vérifie l'égalité $f(x) = x^2 - 2 E(X) x + E(X^2)$.

Démontrer que la fonction $f$ admet un minimum sur $\mathbb{R}$ et déterminer la valeur exacte de ce minimum.

Saisir la valeur minimale atteinte par la fonction $f$ sous forme décimale.