Applications théoriques et approfondissements
L'essentiel du cours (2 notions)
Loi des sinus dans un triangle
Propriété : Dans tout triangle $ABC$, en notant $a=BC$, $b=AC$ et $c=AB$ : $\frac{a}{\sin \widehat{A}} = \frac{b}{\sin \widehat{B}} = \frac{c}{\sin \widehat{C}}$.
Méthode : Égaliser deux rapports pour calculer une longueur ou un angle inconnu connaissant trois autres mesures.
Exemple : Si $a=5$, $\widehat{A}=30^\circ$ et $\widehat{B}=45^\circ$, alors $b = 5 \times \frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = 5\sqrt{2}$.
Centre de gravité d'un triangle
Propriété : Les trois médianes d'un triangle $ABC$ concourent en son centre de gravité $G$. On a $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$.
Méthode : Utiliser $\vec{AG} = \frac{2}{3}\vec{AI}$ ($I$ milieu de $[BC]$) pour placer $G$ ou exprimer des vecteurs.
Exemple : Pour $I(3;1)$ milieu de $[BC]$ et $A(0;4)$, $\vec{AG} = \frac{2}{3}\vec{AI}$ donne $G(2;2)$.
Un élève propose la démonstration suivante pour établir une relation entre la distance d'un point quelconque $M$ aux sommets d'un triangle $ABC$ et sa distance au centre de gravité $G$ de ce triangle.
(Figure donnée à titre indicatif)
Étape 1 : On exprime la somme $MA^2 + MB^2 + MC^2$ à l'aide de la relation de Chasles en introduisant le centre de gravité $G$ :
$$MA^2 + MB^2 + MC^2 = \|\vec{MG} + \vec{GA}\|^2 + \|\vec{MG} + \vec{GB}\|^2 + \|\vec{MG} + \vec{GC}\|^2$$
Étape 2 : En développant chaque carré scalaire $(\vec{MG} + \vec{u})^2 = MG^2 + 2\vec{MG}\cdot\vec{u} + u^2$, on obtient :
$$MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3\,MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2 + 2\vec{MG}\cdot(\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC})$$
Étape 3 : Par définition, le centre de gravité $G$ d'un triangle $ABC$ est le point de concours des médianes et vérifie la relation vectorielle :
$$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$$
Étape 4 : En remplaçant $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}$ par le vecteur nul $\vec{0}$, le terme $2\vec{MG}\cdot\vec{0}$ s'annule. On conclut que :
$$MA^2 + MB^2 + MC^2 = GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3\,MG^2$$
Saisir le numéro de la première étape contenant une erreur (ou 0 si le raisonnement est entièrement exact).
On considère un triangle $ABC$ dont l'aire est égale à $9\sqrt{3}$.
On sait que $\hat{A} = 30^\circ$ et $\hat{B} = 120^\circ$.
Rappel (propriétés du triangle) :
Dans tout triangle $ABC$, on a la relation de la loi des sinus :
De plus, l'aire $S$ du triangle peut s'exprimer par $S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin(\hat{A})$.
Déterminer la longueur du côté $BC$.
Soit $ABC$ un triangle dont les longueurs des côtés sont $AB = 5$, $BC = 7$ et $CA = 8$. On note $G$ le centre de gravité du triangle $ABC$.
On rappelle que la somme des carrés des distances du centre de gravité aux sommets vérifie la relation :
$$GA^2 + GB^2 + GC^2 = \frac{1}{3}(AB^2 + BC^2 + CA^2)$$On considère l'ensemble $\mathcal{E}_k$ des points $M$ du plan vérifiant l'égalité :
$$\vec{MA} \cdot \vec{MB} + \vec{MB} \cdot \vec{MC} + \vec{MC} \cdot \vec{MA} = k$$où $k$ est un nombre réel.
Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour laquelle l'ensemble $\mathcal{E}_k$ est réduit à l'unique point $G$.
Saisir la valeur de $k$.