Exercice : Applications théoriques et approfondissements

Étape 1

Analysons la validité de chacune des étapes présentées dans le raisonnement :

Étape 2

Étape 1 : Pour tout point $M$ du plan, la relation de Chasles donne $\vec{MA} = \vec{MG} + \vec{GA}$. De plus, la norme au carré d'un vecteur est égale au carré de la distance : $MA^2 = \|\vec{MA}\|^2 = \|\vec{MG} + \vec{GA}\|^2$. En faisant de même pour $MB^2$ et $MC^2$, la première étape est rigoureusement exacte.

Étape 3

Étape 2 : Pour tout couple de vecteurs $(\vec{u}, \vec{v})$, on a l'identité remarquable scalaire : $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$. En développant les trois termes : $\|\vec{MG} + \vec{GA}\|^2 = MG^2 + 2\vec{MG}\cdot\vec{GA} + GA^2$, $\|\vec{MG} + \vec{GB}\|^2 = MG^2 + 2\vec{MG}\cdot\vec{GB} + GB^2$ et $\|\vec{MG} + \vec{GC}\|^2 = MG^2 + 2\vec{MG}\cdot\vec{GC} + GC^2$. En sommant ces trois égalités et en factorisant $2\vec{MG}$, on obtient exactement $3\,MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2 + 2\vec{MG}\cdot(\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC})$. L'étape 2 est donc parfaitement exacte.

Étape 4

Étape 3 : Le centre de gravité $G$ d'un triangle $ABC$ est le point de concours de ses trois médianes. Par propriété fondamentale du centre de gravité, il caractérise le point équilibré du triangle et vérifie la relation vectorielle $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$. L'étape 3 est rigoureusement exacte.

Étape 5

Étape 4 : Le produit scalaire d'un vecteur par le vecteur nul est nul : $2\vec{MG}\cdot\vec{0} = 0$. On en déduit l'égalité $MA^2 + MB^2 + MC^2 = GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3\,MG^2$. L'étape 4 est donc exacte.

Étape 6

Toutes les étapes étant valides et sans aucune erreur logique ni algébrique, la réponse attendue est 0.