Équations cartésiennes de cercles
L'essentiel du cours (3 notions)
Équation cartésienne d'un cercle
Propriété : Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $\Omega(a ; b)$ et de rayon $R > 0$ a pour équation cartésienne $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.
Exemple : Le cercle de centre $A(2 ; -3)$ et de rayon $5$ a pour équation $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$.
Reconnaître l'équation d'un cercle
Méthode : 1. Compléter les carrés en $x$ et $y$ : $(x-a)^2 + (y-b)^2 = k$. 2. Si $k > 0$, cercle de centre $\Omega(a ; b)$ et de rayon $R = \sqrt{k}$.
Exemple : $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0 \iff (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9$ : cercle de centre $\Omega(2 ; -1)$ et de rayon $3$.
Intersection d'une courbe et d'une droite
Méthode : 1. Injecter l'équation de la droite ($x = k$ ou $y = k$) dans la courbe. 2. Résoudre l'équation du second degré obtenue.
Exemple : Pour $x^2 + y^2 = 25$ et $y = 3$ : $x^2 + 9 = 25 \iff x^2 = 16$. Points : $(-4 ; 3)$ et $(4 ; 3)$.
Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$, on considère l'ensemble $\mathcal{C}$ des points $M(x; y)$ vérifiant l'équation :
$$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$$En réduisant cette équation sous sa forme canonique, déterminer le rayon $R$ de ce cercle.
Saisir la valeur du rayon $R$.
Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$, on considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre $A(-2; 3)$ dont une équation cartésienne est de la forme :
$$ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = k $$où $k$ est un nombre réel strictement positif.
Le point $B(1; 7)$ appartient au cercle $\mathcal{C}$.
Déterminer et saisir la valeur du réel $k$.
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère l'ensemble $\mathcal{C}$ des points $M(x; y)$ vérifiant l'équation :
$$x^2 + y^2 - 6x + 4y + k = 0$$où $k$ est un nombre réel.
Sachant que cet ensemble $\mathcal{C}$ est un cercle de rayon $5$, déterminer la valeur du réel $k$.
Saisir la valeur du réel $k$.
Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère la courbe $\mathcal{C}$ d'équation :
$$x^2 + y^2 - 4x + 6y + k = 0$$où $k$ est un nombre réel.
On sait que cette courbe est un cercle de rayon $3$.
Saisir la valeur du réel $k$.
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$, on considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre $\Omega(3; 4)$ passant par le point $A(-3; 12)$.
Soit $d_k$ la droite d'équation $y = k$, où $k$ est un nombre réel strictement supérieur à $4$. La droite $d_k$ coupe le cercle $\mathcal{C}$ en deux points distincts $M$ et $N$ tels que la longueur du segment $[MN]$ soit égale à $16$.
Déterminer la valeur du réel $k$.