Forme canonique, discriminant & racines
L'essentiel du cours (3 notions)
Factorisation d'un polynôme du second degré
Propriété : Si $\Delta > 0$, $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$. Si $\Delta = 0$, $ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$. Si $\Delta < 0$, le polynôme ne se factorise pas dans $\mathbb{R}$.
Méthode : Avant de calculer $\Delta$, chercher une simplification rapide : facteur commun ($c=0$), identité remarquable ($b=0$), ou racine évidente ($1$ ou $-1$).
Exemple : $2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4) = 2(x - 2)(x + 2)$
Forme canonique et complétion du carré
Propriété : Toute fonction polynôme du second degré s'écrit sous la forme $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$, où $S(\alpha ; \beta)$ est le sommet de la parabole.
Méthode : Compléter le carré via l'identité $x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$ pour faire apparaître la forme canonique.
Exemple : $x^2 + 6x + 1 = (x + 3)^2 - 9 + 1 = (x + 3)^2 - 8$
Équation du second degré et discriminant
Définition : Le discriminant de $ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$) est $\Delta = b^2 - 4ac$.
Propriété : Si $\Delta > 0$, deux racines $x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$. Si $\Delta = 0$, une racine double $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Si $\Delta < 0$, aucune racine réelle.
Méthode : Pour $\Delta > 0$, le polynôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe de $-a$ entre les racines.
Exemple : Pour $x^2 - 3x + 2 = 0$ : $\Delta = 1 > 0$, donc $x_1 = 1$ et $x_2 = 2$.
Soit la fonction polynôme du second degré $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = 2x^2 - 8x + k$$où $k$ est un nombre réel.
On sait que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$.
Déterminer la valeur du réel $k$.
Saisir la valeur du réel $k$ :
On considère la fonction polynôme $f$ du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = x^2 - 5x + 6$$Pour déterminer les racines de ce polynôme :
- Calculer le discriminant $\Delta$ associé à $f(x)$.
- En déduire les deux racines du polynôme.
Saisir la valeur de la plus grande racine.
On considère la fonction polynôme $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = x^2 - 8x + 19$$Pour déterminer la forme canonique de $f$, on suit les étapes suivantes :
- Exprimer l'expression $x^2 - 8x$ sous la forme $(x - a)^2 - a^2$.
- En déduire l'écriture de $f(x)$ sous la forme canonique $f(x) = (x - \alpha)^2 + \beta$, où $\alpha$ et $\beta$ sont des nombres réels.
Saisir la valeur du nombre $\beta$.
On considère la famille de fonctions $f_k$ définies sur $\mathbb{R}$ par $$f_k(x) = 2x^2 - 12x + k$$ où $k$ est un nombre entier.
On cherche à déterminer la valeur à partir de laquelle la fonction $f_k$ reste strictement positive sur l'ensemble des nombres réels.
Saisir la plus petite valeur entière de $k$ pour laquelle $f_k(x) > 0$ pour tout réel $x$.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = 2x^2 - 12x + k$$où $k$ est un nombre réel.
Déterminer la valeur du réel $k$ pour laquelle le minimum de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ est égal à $-5$.
Saisir la valeur du réel $k$.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = a x^2 + 12x + k$, où $a$ et $k$ sont deux nombres réels avec $a \neq 0$.
On sait que pour tout réel $x$, $f(x)$ s'écrit également sous la forme $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$, où $x_1$ et $x_2$ sont deux réels vérifiant $x_1 + x_2 = 4$ et $x_1 x_2 = -5$.
Saisir la valeur du paramètre $k$.