Exercice : Forme canonique, discriminant & racines

Étape 1

La fonction $f$ est une fonction polynôme du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a = 2$, $b = -8$ et $c = k$.

Étape 2

On calcule le discriminant $\Delta$ associé à l'équation $f(x) = 0$ :

Étape 3

$$\Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \times 2 \times k = 64 - 8k$$

Étape 4

L'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$ si et seulement si son discriminant est égal à $0$.

Étape 5

On résout donc l'équation :

Étape 6

$$64 - 8k = 0$$

Étape 7

Ce qui équivaut à $8k = 64$, d'où $k = \dfrac{64}{8} = 8$.

Étape 8

La valeur du réel $k$ pour laquelle l'équation admet une unique solution est $8$.