Calcul de dérivées et étude de variations
L'essentiel du cours (3 notions)
Calcul de dérivées et opérations
Propriété : Règles d'opération : $(u+v)' = u'+v'$, $(k u)' = k u'$, $(u v)' = u'v + u v'$ et $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - u v'}{v^2}$.
Méthode : Dériver chaque terme avec les formules usuelles ($x^n \to n x^{n-1}$, $\frac{1}{x} \to -\frac{1}{x^2}$, $\sqrt{x} \to \frac{1}{2\sqrt{x}}$) puis appliquer les règles d'opération.
Exemple : Pour $f(x) = 3x^2 - 5x + 1$, on applique $(k u)'$ et $(u+v)'$ : $f'(x) = 3(2x) - 5 = 6x - 5$.
Signe, extremum et inéquation graphique
Propriété : Le signe de $f(x)$ dépend de la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses. Un extremum est la valeur maximale ou minimale atteinte par $f$.
Méthode : Pour dénombrer les solutions entières d'une inéquation, repérer l'intervalle solution sur l'axe des abscisses puis compter les entiers qu'il contient.
Exemple : Si $f(x) < 2$ sur $]1 ; 4{,}5[$, les solutions entières sont $x = 2$, $x = 3$ et $x = 4$, soit $3$ solutions.
Variations et signe de la dérivée
Propriété : Si $f'(x) > 0$ (resp. $< 0$) sur un intervalle $I$, alors $f$ est strictement croissante (resp. décroissante) sur cet intervalle. Si $f'$ s'annule en changeant de signe en $x_0$, $f$ admet un extremum local en $x_0$.
Méthode : 1. Calculer la dérivée $f'(x)$. 2. Étudier son signe dans un tableau de signes. 3. Déduire les variations de $f$ et ses éventuels extrémums.
Exemple : Si $f'(x)$ s'annule en $x = 2$ en passant de $+$ à $-$, $f$ admet un maximum local en $x = 2$.
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3 ; 4]$, dont la représentation graphique est donnée ci-dessous dans un repère orthogonal.
Déterminer le nombre d'entiers relatifs $x$ appartenant à l'intervalle $[-3 ; 4]$ qui sont solutions de l'inéquation $f(x) \ge 0$.
Saisir le nombre d'entiers solutions.
On a représenté ci-dessous la courbe d'une fonction $f$ sur l'intervalle $[-2{,}5 ; 2{,}5]$.
En utilisant la représentation graphique, déterminer le nombre d'entiers relatifs $x$ appartenant à l'intervalle $[-2 ; 2]$ vérifiant l'inéquation $f(x) \geqslant 1$.
Saisir le nombre d'entiers relatifs solutions.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = -2x^2 + 12x - 5$$En étudiant le signe de la fonction dérivée $f'$, déterminer la valeur du maximum de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
Saisir la valeur du maximum de la fonction $f$.
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x - 3)(x^2 + 1)$.
En déterminant la fonction dérivée $f'$, calculer la valeur du nombre dérivé en $x = 2$.
Saisir la valeur de $f'(2)$.
Une entreprise modélise son coût moyen de fabrication (en dizaines d'euros par unité) pour une quantité $x$ d'objets exprimée en centaines (avec $x \in [1 ; 10]$) par la fonction $f$ définie par :
$$f(x) = x + \frac{k}{x}$$où $k$ est un nombre réel positif fixé.
L'entreprise sait que son coût moyen est minimal lorsque la quantité fabriquée est de $500$ objets, c'est-à-dire pour $x = 5$.
Déterminer la valeur du paramètre $k$.
Saisir la valeur de $k$.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = \dfrac{2x - 1}{x^2 + 3}$$On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$.
Le coût unitaire de fabrication (en euros) d'un produit dépend de la quantité $x > 0$ produite (en milliers d'unités) et est modélisé par la fonction $g$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par :
$$g(x) = x + \frac{k}{x} + 5$$où $k$ est un paramètre réel strictement positif lié aux contraintes de production.
Le coût unitaire minimal atteint par l'entreprise s'élève à $21$ euros.
Saisir la valeur du paramètre $k$.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x) = x^3 - a x^2 - 15x + 4$$ où $a$ est un nombre réel fixé.
On sait que la fonction $f$ admet un extremum local au point d'abscisse $x = 3$.
Saisir la valeur du réel $a$.
Un fabricant conçoit un réservoir ouvert (sans couvercle) ayant la forme d'un pavé droit.
La base du réservoir est un rectangle dont la longueur est égale au double de sa largeur $x$ (exprimée en mètres, avec $x > 0$). Le volume intérieur du réservoir doit être exactement égal à $36\text{ m}^3$.
On cherche à déterminer la quantité minimale de métal nécessaire pour fabriquer ce réservoir, c'est-à-dire la surface totale formée par le fond et les quatre faces latérales.
Déterminer l'aire minimale de métal nécessaire pour construire ce réservoir (en $\text{m}^2$).