Étape 1
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$ est égal au nombre dérivé $f'(1)$.
Étape 2
La fonction $f$ est de la forme $f = \dfrac{u}{v}$ avec, pour tout réel $x$ : $$u(x) = 2x - 1 \quad \text{et} \quad v(x) = x^2 + 3$$ Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$, avec : $$u'(x) = 2 \quad \text{et} \quad v'(x) = 2x$$ De plus, $x^2 + 3 > 0$ pour tout réel $x$, donc la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
Étape 3
Pour tout réel $x$, la dérivée $f'$ est donnée par : $$f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$$ $$f'(x) = \dfrac{2(x^2 + 3) - (2x - 1)(2x)}{(x^2 + 3)^2}$$ $$f'(x) = \dfrac{2x^2 + 6 - (4x^2 - 2x)}{(x^2 + 3)^2} = \dfrac{-2x^2 + 2x + 6}{(x^2 + 3)^2}$$
Étape 4
On calcule maintenant $f'(1)$ : $$f'(1) = \dfrac{-2(1)^2 + 2(1) + 6}{(1^2 + 3)^2} = \dfrac{-2 + 2 + 6}{4^2} = \dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8}$$ Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $1$ est donc $\dfrac{3}{8}$.
Méthode clé
Le coefficient directeur de la tangente en $a$ est $f'(a)$. Pour une fonction quotient $f = \frac{u}{v}$, utiliser la formule $f' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Piège à éviter
Confondre la formule du quotient avec $\frac{u'}{v'}$ ou oublier le signe moins au numérateur lors de la distribution.
