Exercice : Calcul de dérivées et étude de variations

Étape 1

La fonction $f$ est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur $\mathbb{R}$. Pour tout réel $x$, sa fonction dérivée est : $$f'(x) = -4x + 12$$

Étape 2

Étudions le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$ : $$-4x + 12 = 0 \iff -4x = -12 \iff x = 3$$ Comme le coefficient de $x$ est $-4$ (strictement négatif), la fonction $f'$ est strictement positive sur $]-\infty ; 3[$ et strictement négative sur $]3 ; +\infty[$.

Étape 3

On en déduit le tableau de variations de la fonction $f$ : $$\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 3 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & & \nearrow & \text{Max} & \searrow & \end{array}$$

Étape 4

La fonction $f$ atteint donc son maximum absolu sur $\mathbb{R}$ en $x = 3$. La valeur de ce maximum est : $$f(3) = -2 \times 3^2 + 12 \times 3 - 5 = -18 + 36 - 5 = 13$$