Étape 1
Étape 1 : Modélisation de la surface du réservoir
Étape 2
Notons $h$ la hauteur du réservoir (en mètres). Le volume du pavé droit est donné par le produit de l'aire de la base par la hauteur :
Étape 3
$$V = (x \times 2x) \times h = 2x^2 h$$
Étape 4
Comme le volume doit être égal à $36\text{ m}^3$, on a $2x^2 h = 36$, d'où :
Étape 5
$$h = \frac{36}{2x^2} = \frac{18}{x^2}$$
Étape 6
La surface totale $S(x)$ de métal utilisée est composée du fond et des quatre faces latérales :
Étape 7
- Le fond (rectangle de $x \times 2x$) : aire $= 2x^2$
- Deux faces latérales opposées de dimensions $x \times h$ : aire $= 2 \times (x \times h) = 2xh$
- Deux faces latérales opposées de dimensions $2x \times h$ : aire $= 2 \times (2x \times h) = 4xh$
Étape 8
En additionnant ces surfaces, on obtient :
Étape 9
$$S(x) = 2x^2 + 2xh + 4xh = 2x^2 + 6xh$$
Étape 10
En remplaçant $h$ par $\frac{18}{x^2}$, la fonction de surface $S(x)$ définie sur $]0 ; +\infty[$ s'écrit :
Étape 11
$$S(x) = 2x^2 + 6x \times \frac{18}{x^2} = 2x^2 + \frac{108}{x}$$
Étape 12
Étape 2 : Étude des variations de la fonction $S$
Étape 13
La fonction $S$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$. En utilisant la dérivée de $x^2$ et de $\frac{1}{x}$, on calcule :
Étape 14
$$S'(x) = 4x - \frac{108}{x^2} = \frac{4x^3 - 108}{x^2} = \frac{4(x^3 - 27)}{x^2}$$
Étape 15
Pour tout $x > 0$, le dénominateur $x^2$ est strictement positif. Le signe de $S'(x)$ est donc du même signe que $x^3 - 27$.
Étape 16
Résolvons l'équation $S'(x) = 0$ :
Étape 17
$$x^3 - 27 = 0 \iff x^3 = 27 \iff x = 3$$
Étape 18
Comme la fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ :
Étape 19
- Pour $x \in ]0 ; 3[$, $x^3 < 27$, donc $S'(x) < 0$.
- Pour $x \in ]3 ; +\infty[$, $x^3 > 27$, donc $S'(x) > 0$.
Étape 20
La fonction $S$ est donc strictement décroissante sur $]0 ; 3]$ et strictement croissante sur $[3 ; +\infty[$. Elle admet par conséquent un minimum absolu en $x = 3$.
Étape 21
Étape 3 : Calcul de la valeur minimale
Étape 22
On calcule l'image de $x = 3$ par la fonction $S$ :
Étape 23
$$S(3) = 2(3)^2 + \frac{108}{3} = 2 \times 9 + 36 = 18 + 36 = 54$$
Étape 24
L'aire minimale de métal nécessaire pour fabriquer le réservoir est donc de $54\text{ m}^2$.
Méthode clé
Pour optimiser une grandeur sous contrainte, on exprime toutes les variables en fonction d'une seule inconnue, puis on étudie le signe de la dérivée de la fonction obtenue.
Piège à éviter
Oublier que le réservoir est sans couvercle (ne comptabiliser le fond qu'une seule fois) ou dériver incorrectement le terme en $1/x$.
