Étape 1
La fonction $f$ est une fonction polynôme, donc elle est dérivable sur $\mathbb{R}$. Pour tout réel $x$, sa fonction dérivée $f'$ est donnée par : $$f'(x) = 3x^2 - 2ax - 15$$
Étape 2
Puisque la fonction $f$ admet un extremum local au point d'abscisse $x = 3$, le nombre dérivé $f'(3)$ doit être égal à $0$.
Étape 3
On calcule $f'(3)$ en remplaçant $x$ par $3$ dans l'expression de la dérivée : $$f'(3) = 3 \times 3^2 - 2a \times 3 - 15 = 27 - 6a - 15 = 12 - 6a$$ L'égalité $f'(3) = 0$ équivaut donc à : $$12 - 6a = 0$$ Ce qui donne $6a = 12$, d'où $a = 2$.
Étape 4
Vérifions que $x = 3$ correspond bien à un extremum local lorsque $a = 2$. Pour $a = 2$, la dérivée s'écrit $f'(x) = 3x^2 - 4x - 15$. Le discriminant de ce trinôme est : $$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 3 \times (-15) = 16 + 180 = 196 = 14^2$$ Les racines de $f'(x)$ sont $x_1 = \frac{4 - 14}{6} = -\frac{5}{3}$ et $x_2 = \frac{4 + 14}{6} = 3$. Le coefficient devant $x^2$ étant strictement positif ($3 > 0$), la dérivée $f'(x)$ est strictement négative entre les racines, soit sur $]-\frac{5}{3} ; 3[$, et strictement positive sur $]3 ; +\infty[$. La dérivée $f'$ s'annule donc en $x = 3$ en changeant de signe, ce qui confirme que la fonction $f$ admet un minimum local en $x = 3$ pour $a = 2$.
Méthode clé
Si une fonction dérivable sur un intervalle admet un extremum local en un point $x_0$, alors sa fonction dérivée s'annule en ce point ($f'(x_0) = 0$) en changeant de signe.
Piège à éviter
Confondre l'image de l'extremum $f(3)$ et le nombre dérivé $f'(3)$, ou faire une erreur de signe lors de la dérivation du terme $-a x^2$.
