Représentations graphiques et modélisation
Un capital placé sur un compte produit des intérêts composés. La valeur du capital (en euros) après $t$ années est modélisée par la fonction $V$ définie pour tout réel $t \ge 0$ par :
$$V(t) = C \cdot e^{k t}$$où $C$ représente le capital initial investi en euros et $k$ est une constante réelle telle que $e^k = 1{,}05$.
Au bout de $2$ ans, la valeur du capital s'élève à $4410$ €.
Déterminer la valeur du capital initial $C$.
Saisir la valeur du capital initial $C$.
Dans un processus industriel, la température $T(t)$ d'un réacteur chimique (exprimée en degrés Celsius) $t$ minutes après le début de la réaction ($t \ge 0$) est modélisée par la fonction :
$$T(t) = (a t + 15) e^{-0{,}1 t} + 20$$où $a$ est une constante réelle strictement positive dépendant des réactifs engagés.
Des relevés expérimentaux indiquent que la température maximale du réacteur au cours de la réaction est atteinte exactement $5$ minutes après son déclenchement.
Déterminer la valeur du paramètre $a$.
Dans un laboratoire, l'évolution de la masse d'une culture bactérienne (en milligrammes) en fonction du temps $t$ (en heures, pour $t \ge 0$) est modélisée par une fonction $f$ de la forme :
$$f(t) = A e^{k t}$$où $A$ et $k$ sont deux nombres réels strictement positifs.
À l'instant $t = 0$, la masse de la culture est de $250\text{ mg}$, et la vitesse instantanée de croissance à cet instant est de $10\text{ mg/h}$.
Saisir la valeur du coefficient $k$.
La quantité d'une substance médicamenteuse présente dans le sang d'un patient (en milligrammes) $t$ heures après son injection est modélisée par la fonction $M(t) = M_0 e^{kt}$, où $M_0$ est la masse initiale injectée en milligrammes et $k$ est une constante réelle.
Deux dosages sanguins fournissent les résultats suivants :
- Après $2\text{ h}$, la quantité présente est de $40\text{ mg}$.
- Après $5\text{ h}$, la quantité présente est de $5\text{ mg}$.
Saisir la valeur de la masse initiale $M_0$.