Exercice : Représentations graphiques et modélisation

Étape 1

À l'instant $t = 0$, la masse de la culture est de $250\text{ mg}$, ce qui se traduit par $f(0) = 250$.

Étape 2

En remplaçant $t$ par $0$ dans l'expression du modèle : $$f(0) = A e^{k \times 0} = A e^0 = A$$ On en déduit que $A = 250$.

Étape 3

La fonction $f$ est définie sur $[0 ; +\infty[$ par $f(t) = 250 e^{k t}$. Sa fonction dérivée $f'$ représente la vitesse instantanée de croissance de la masse.

Étape 4

Pour tout réel $t \ge 0$, on calcule $f'(t)$ : $$f'(t) = 250 \times k e^{k t} = 250 k e^{k t}$$

Étape 5

En évaluant la dérivée à l'instant $t = 0$, on obtient : $$f'(0) = 250 k e^0 = 250 k$$

Étape 6

L'énoncé indique que la vitesse instantanée de croissance à $t = 0$ est égale à $10\text{ mg/h}$, donc $f'(0) = 10$. Ce qui donne l'équation : $$250 k = 10$$

Étape 7

On isole le coefficient $k$ : $$k = \frac{10}{250} = \frac{1}{25} = 0{,}04$$