Exercice : Représentations graphiques et modélisation

Étape 1

Pour modéliser la valeur du capital au cours du temps, on utilise la formule $V(t) = C \cdot e^{k t}$.

Étape 2

En remplaçant $t$ par $2$, on obtient l'expression du capital au bout de $2$ ans :

Étape 3

$$V(2) = C \cdot e^{2k} = C \cdot (e^k)^2$$

Étape 4

On sait par l'énoncé que $e^k = 1{,}05$. On calcule la valeur du carré :

Étape 5

$$1{,}05^2 = 1{,}1025$$

Étape 6

L'expression de $V(2)$ devient donc :

Étape 7

$$V(2) = C \times 1{,}1025$$

Étape 8

Sachant que la valeur au bout de $2$ ans est de $4410$ €, on pose l'équation :

Étape 9

$$1{,}1025 \times C = 4410$$

Étape 10

Ce qui permet d'isoler $C$ par la division :

Étape 11

$$C = \frac{4410}{1{,}1025} = 4000$$

Étape 12

Le capital initial investi $C$ est donc égal à $4000$ €.