Méthodes de calcul du produit scalaire
L'essentiel du cours (5 notions)
Produit scalaire et projection
Propriété : Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$, alors $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}$.
Méthode : 1. Projeter $C$ en $H$ sur $(AB)$. 2. Calculer $+AB \times AH$ si les vecteurs sont de même sens, $-AB \times AH$ si de sens contraires.
Exemple : Si $AB = 4$, $AH = 3$ (sens contraires), alors $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -4 \times 3 = -12$.
Expression analytique du produit scalaire
Propriété : Dans une base orthonormée, le produit scalaire est égal à la somme des produits des coordonnées respectives.
Formule : $\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y'$
Exemple : Si $\vec{u}(2 ; -3)$ et $\vec{v}(4 ; 1)$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 4 + (-3) \times 1 = 5$.
Produit scalaire et angle géométrique
Propriété : Pour deux vecteurs non nuls, le produit scalaire est le produit de leurs normes par le cosinus de leur angle.
Formule : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\theta)$
Exemple : Si $\|\vec{u}\| = 3$, $\|\vec{v}\| = 4$ et $\theta = \frac{\pi}{3}$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 4 \times 0{,}5 = 6$.
Produit scalaire et normes uniquement
Propriété : Dans un triangle $ABC$, le produit scalaire s'exprime uniquement avec les longueurs des trois côtés.
Formule : $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2} \left( AB^2 + AC^2 - BC^2 \right)$
Exemple : Si $AB=3$, $AC=4$ et $BC=5$, alors $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2}(9 + 16 - 25) = 0$.
Coordonnées par le produit scalaire
Propriété : Dans une base orthonormée $(\vec{i}, \vec{j})$, tout vecteur $\vec{u}$ vérifie $\vec{u} = (\vec{u} \cdot \vec{i})\vec{i} + (\vec{u} \cdot \vec{j})\vec{j}$.
Exemple : Si $\vec{u} \cdot \vec{i} = 5$ et $\vec{u} \cdot \vec{j} = -2$, alors $\vec{u}$ a pour coordonnées $(5 ; -2)$.
Soient deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ du plan tels que :
- $\|\vec{u}\| = 6$
- $\|\vec{v}\| = 5$
- L'angle géométrique formé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$ mesure $\dfrac{\pi}{3}\text{ rad}$.
Saisir la valeur du produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan tels que :
- $\|\vec{u}\| = 4$
- $\|\vec{v}\| = 6$
- $\|\vec{u} + \vec{v}\| = 8$
En utilisant le développement de la norme au carré $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$, déterminer la valeur du produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
Saisir la valeur numérique exacte du produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
Dans le plan muni d'une base orthonormée $(\vec{i}, \vec{j})$, on considère le vecteur $\vec{u} = 4\vec{i} - 3\vec{j}$ et le vecteur $\vec{v} = 2\vec{u} + 3\vec{j}$.
En calculant le produit scalaire $\vec{v} \cdot \vec{i}$, déterminer l'abscisse du vecteur $\vec{v}$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j})$.
Saisir l'abscisse du vecteur $\vec{v}$.
On considère les points $A$, $B$ et $C$ dans le plan. Le point $H$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$, comme représenté sur la figure ci-dessous.
On donne les longueurs $AB = 6$ et $AH = 4$.
En utilisant la projection orthogonale du point $C$ sur la droite $(AB)$, calculer la valeur du produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
Saisir la valeur du produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$, on considère les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$.
Calculer le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
Saisir la valeur du produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
Dans le plan muni d'une base orthonormée $(\vec{i}, \vec{j})$, on considère un vecteur $\vec{u}$ vérifiant $\vec{u} \cdot \vec{i} = 3$.
Soit le vecteur $\vec{v} = 2\vec{i} - 5\vec{j}$. On donne le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v} = 21$.
Saisir l'ordonnée du vecteur $\vec{u}$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j})$.
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan.
On donne les normes suivantes :
- $\|\vec{u}\| = 3$
- $\|\vec{v}\| = 5$
- $\|\vec{u} - 2\vec{v}\| = 9$
Déterminer la valeur du produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
Saisir la valeur du produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$, on considère les points $A(-3 ; 2)$, $B(1 ; 5)$ et $C(4 ; -1)$.
Soit $D$ le point tel que le quadrilatère $ABCD$ soit un parallélogramme.
Saisir la valeur de $\vec{AC} \cdot \vec{BD}$.
Soit $ABCD$ un trapèze rectangle en $A$ et $D$ tel que $AD = 4$, $CD = 3$ et $BC = 5$.
On souhaite déterminer la valeur du produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
Saisir la valeur du produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.