Exercice : Méthodes de calcul du produit scalaire

Étape 1

Pour déterminer le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$, on utilise le développement de la norme au carré de la différence $\vec{u} - 2\vec{v}$ : $$\|\vec{u} - 2\vec{v}\|^2 = (\vec{u} - 2\vec{v})^2 = \|\vec{u}\|^2 - 4(\vec{u} \cdot \vec{v}) + 4\|\vec{v}\|^2$$

Étape 2

On remplace les normes connues par leurs valeurs données dans l'énoncé : $$\|\vec{u}\| = 3, \quad \|\vec{v}\| = 5, \quad \text{et} \quad \|\vec{u} - 2\vec{v}\| = 9$$ Ce qui donne : $$9^2 = 3^2 - 4(\vec{u} \cdot \vec{v}) + 4 \times 5^2$$ $$81 = 9 - 4(\vec{u} \cdot \vec{v}) + 4 \times 25$$ $$81 = 109 - 4(\vec{u} \cdot \vec{v})$$

Étape 3

On isole le terme $4(\vec{u} \cdot \vec{v})$ pour calculer le produit scalaire : $$4(\vec{u} \cdot \vec{v}) = 109 - 81 = 28$$ $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{28}{4} = 7$$ Le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ est donc égal à $7$.