Étape 1
Première étape : Détermination des coordonnées du point $D$.
Puisque $ABCD$ est un parallélogramme, on a l'égalité vectorielle :
$$\vec{AB} = \vec{DC}$$
Calculons d'abord les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ :
$$\vec{AB}\begin{pmatrix} 1 - (-3) \\ 5 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$$
Soit $(x_D ; y_D)$ les coordonnées du point $D$. Les coordonnées du vecteur $\vec{DC}$ s'écrivent :
$$\vec{DC}\begin{pmatrix} 4 - x_D \\ -1 - y_D \end{pmatrix}$$
L'égalité $\vec{AB} = \vec{DC}$ équivaut au système :
$$4 - x_D = 4 \quad \text{et} \quad -1 - y_D = 3$$
Ce qui donne $x_D = 0$ et $y_D = -4$. Le point $D$ a donc pour coordonnées $(0 ; -4)$.
Étape 2
Deuxième étape : Calcul des coordonnées des vecteurs $\vec{AC}$ et $\vec{BD}$.
$$\vec{AC}\begin{pmatrix} 4 - (-3) \\ -1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -3 \end{pmatrix}$$
$$\vec{BD}\begin{pmatrix} 0 - 1 \\ -4 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -9 \end{pmatrix}$$
Étape 3
Troisième étape : Calcul du produit scalaire.
Le repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$ étant orthonormé, on applique la formule analytique du produit scalaire :
$$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 7 \times (-1) + (-3) \times (-9)$$
$$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = -7 + 27 = 20$$
Méthode clé
Pour calculer un produit scalaire avec des coordonnées dans un repère orthonormé, déterminer les coordonnées des deux vecteurs $\vec{u}(x ; y)$ et $\vec{v}(x' ; y')$, puis appliquer la formule $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$.
Piège à éviter
Confondre l'ordre des sommets du parallélogramme $ABCD$ (on a $\vec{AB} = \vec{DC}$ et non $\vec{AB} = \vec{CD}$) ou faire des erreurs de signe lors des soustractions de coordonnées.
