Propriétés du produit scalaire
L'essentiel du cours (3 notions)
Calcul d'angle par produit scalaire
Propriété : Pour deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$, la formule de l'angle est : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})$.
Méthode : 1. Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ainsi que $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|$. 2. Isoler $\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|}$. 3. Déterminer $\theta$ avec la touche $\arccos$ de la calculatrice.
Calcul de distance et carré scalaire
Propriété : Le carré scalaire d'un vecteur est égal au carré de sa norme : $\vec{u}^2 = \vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$. Ainsi, $AB^2 = \vec{AB}^2$.
Méthode : Pour calculer la distance $AB$ : décomposer $\vec{AB}$ avec la relation de Chasles, développer le carré scalaire $\vec{AB}^2$, puis prendre la racine carrée du résultat.
Bilinéarité et identités remarquables scalaires
Propriété : Le produit scalaire est symétrique ($\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$) et bilinéaire. On développe les expressions scalaires comme en algèbre usuelle.
Formule : $\|\vec{u} \pm \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 \pm 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) + \|\vec{v}\|^2$
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan tels que :
- $\|\vec{u}\| = 3$
- $\|\vec{v}\| = 2$
- $\vec{u} \cdot \vec{v} = 4$
On souhaite calculer le produit scalaire $(2\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + 3\vec{v})$.
Déterminer la valeur numérique de ce produit scalaire.
Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 6$, $AC = 5$ et $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 18$.
En utilisant les propriétés du produit scalaire et le développement du carré scalaire $\vec{BC}^2 = (\vec{AC} - \vec{AB})^2$, déterminer la longueur $BC$.
Saisir la valeur de la longueur $BC$.
On considère un triangle $ABC$ tel que $AB = 4$, $AC = 5$ et $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 10$.
À l'aide de la feuille de route ci-dessous, déterminer la mesure de l'angle géométrique $\widehat{BAC}$ :
- Exprimer $\cos(\widehat{BAC})$ en fonction du produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ et des longueurs $AB$ et $AC$.
- En déduire la valeur de $\cos(\widehat{BAC})$, puis la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ en degrés.
Saisir la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ en degrés.
Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 3$, $AC = 5$ et $BC = \sqrt{19}$.
Saisir la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ en degrés.
Soit $ABC$ un triangle. Le point $I$ est le milieu du segment $[BC]$.
On donne les longueurs suivantes : $AB = 7$, $AC = 9$ et $AI = 7$.
Saisir la valeur de BC.
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan tels que :
$$\Vert\vec{u}\Vert = 3, \quad \Vert\vec{v}\Vert = 2 \quad \text{et} \quad \vec{u} \cdot \vec{v} = -1$$On considère le nombre réel $k$ vérifiant l'égalité suivante :
$$(\vec{u} + k\vec{v}) \cdot (2\vec{u} - \vec{v}) = 1$$Saisir la valeur du réel $k$.