Exercice : Propriétés du produit scalaire

Étape 1

D'après la formule du produit scalaire avec le cosinus, nous avons :

Étape 2

$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})$$

Étape 3

En remplaçant par les données de l'énoncé $AB = 4$, $AC = 5$ et $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 10$, on obtient :

Étape 4

$$10 = 4 \times 5 \times \cos(\widehat{BAC})$$

Étape 5

Ce qui donne :

Étape 6

$$10 = 20 \times \cos(\widehat{BAC})$$

Étape 7

On en déduit la valeur du cosinus :

Étape 8

$$\cos(\widehat{BAC}) = \frac{10}{20} = 0{,}5$$

Étape 9

L'angle géométrique $\widehat{BAC}$ appartient à l'intervalle $[0^\circ, 180^\circ]$. Le seul angle ayant un cosinus égal à $0{,}5$ est $60^\circ$.

Étape 10

La mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ est donc de $60^\circ$.