Étape 1
Pour déterminer la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$, on calcule d'abord le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ à l'aide de la formule liant le produit scalaire aux normes des trois côtés :
Étape 2
$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2} \left( AB^2 + AC^2 - BC^2 \right)$$
Étape 3
En remplaçant par les valeurs données dans l'énoncé :
Étape 4
$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2} \left( 3^2 + 5^2 - (\sqrt{19})^2 \right) = \frac{1}{2} (9 + 25 - 19) = \frac{15}{2} = 7{,}5$$
Étape 5
On exprime ensuite ce même produit scalaire à l'aide de la formule faisant intervenir le cosinus de l'angle :
Étape 6
$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})$$
Étape 7
En égalant les deux expressions obtenues, il vient :
Étape 8
$$3 \times 5 \times \cos(\widehat{BAC}) = 7{,}5$$
Étape 9
$$15 \cos(\widehat{BAC}) = 7{,}5$$
Étape 10
$$\cos(\widehat{BAC}) = \frac{7{,}5}{15} = \frac{1}{2}$$
Étape 11
La mesure d'un angle géométrique étant comprise entre $0^\circ$ et $180^\circ$, la seule valeur dont le cosinus vaut $\frac{1}{2}$ est $60^\circ$. L'angle $\widehat{BAC}$ mesure donc $60^\circ$.
Méthode clé
Exprimer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ avec la formule des normes pour obtenir sa valeur numérique, puis utiliser la définition avec le cosinus pour déterminer l'angle.
Piège à éviter
Attention au choix des côtés dans la formule des normes : pour le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$, le côté retranché est le côté opposé $BC$.
