Exercice : Propriétés du produit scalaire

Étape 1

D'après la relation de Chasles, on a :

Étape 2

$$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$$

Étape 3

En exprimant le carré scalaire de $\vec{BC}$, on obtient :

Étape 4

$$BC^2 = \|\vec{BC}\|^2 = (\vec{AC} - \vec{AB})^2$$

Étape 5

En développant à l'aide de l'identité remarquable scalaire, il vient :

Étape 6

$$BC^2 = \vec{AC}^2 - 2\vec{AC} \cdot \vec{AB} + \vec{AB}^2$$

Étape 7

Ce qui se réécrit avec les longueurs :

Étape 8

$$BC^2 = AC^2 - 2\vec{AB} \cdot \vec{AC} + AB^2$$

Étape 9

En remplaçant par les valeurs données dans l'énoncé ($AB = 6$, $AC = 5$ et $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 18$) :

Étape 10

$$BC^2 = 5^2 - 2 \times 18 + 6^2$$

Étape 11

$$BC^2 = 25 - 36 + 36 = 25$$

Étape 12

La longueur $BC$ étant un nombre positif, on en déduit :

Étape 13

$$BC = \sqrt{25} = 5$$