Étape 1
En utilisant les propriétés de bilinéarité et de symétrie du produit scalaire, développons l'expression $(\vec{u} + k\vec{v}) \cdot (2\vec{u} - \vec{v})$ :
Étape 2
$$(\vec{u} + k\vec{v}) \cdot (2\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u} \cdot (2\vec{u}) + \vec{u} \cdot (-\vec{v}) + (k\vec{v}) \cdot (2\vec{u}) + (k\vec{v}) \cdot (-\vec{v})$$
Étape 3
En simplifiant chaque terme à l'aide des règles du produit scalaire, on obtient :
Étape 4
$$(\vec{u} + k\vec{v}) \cdot (2\vec{u} - \vec{v}) = 2\Vert\vec{u}\Vert^2 - (\vec{u} \cdot \vec{v}) + 2k(\vec{u} \cdot \vec{v}) - k\Vert\vec{v}\Vert^2$$
Étape 5
Injectons les valeurs numériques données dans l'énoncé, à savoir $\Vert\vec{u}\Vert = 3$ (d'où $\Vert\vec{u}\Vert^2 = 9$), $\Vert\vec{v}\Vert = 2$ (d'où $\Vert\vec{v}\Vert^2 = 4$) et $\vec{u} \cdot \vec{v} = -1$ :
Étape 6
$$2 \times 9 - (-1) + 2k \times (-1) - k \times 4 = 18 + 1 - 2k - 4k = 19 - 6k$$
Étape 7
D'après l'énoncé, ce produit scalaire est égal à $1$. On pose donc l'équation :
Étape 8
$$19 - 6k = 1$$
Étape 9
Ce qui équivaut à $6k = 18$, soit $k = 3$.
Méthode clé
Utiliser la bilinéarité du produit scalaire pour développer des expressions de la forme $(a\vec{u} + b\vec{v}) \cdot (c\vec{u} + d\vec{v})$ en se ramenant aux normes $\Vert\vec{u}\Vert^2$, $\Vert\vec{v}\Vert^2$ et au produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
Piège à éviter
Confondre la norme au carré $\Vert\vec{u}\Vert^2$ avec la simple norme $\Vert\vec{u}\Vert$, ou commettre une erreur de signe lors du développement du produit scalaire.
