Étape 1
On exprime les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ à l'aide de la relation de Chasles en passant par le point $I$ :
$$\vec{AB} = \vec{AI} + \vec{IB} \quad \text{et} \quad \vec{AC} = \vec{AI} + \vec{IC}$$
Étape 2
On calcule la somme des carrés des longueurs $AB^2 + AC^2$ en utilisant le carré scalaire :
$$AB^2 + AC^2 = (\vec{AI} + \vec{IB})^2 + (\vec{AI} + \vec{IC})^2$$
Étape 3
En développant grâce aux identités remarquables du produit scalaire, on obtient :
$$AB^2 + AC^2 = AI^2 + 2\vec{AI}\cdot\vec{IB} + IB^2 + AI^2 + 2\vec{AI}\cdot\vec{IC} + IC^2$$
$$AB^2 + AC^2 = 2 AI^2 + IB^2 + IC^2 + 2\vec{AI}\cdot(\vec{IB} + \vec{IC})$$
Étape 4
Comme $I$ est le milieu du segment $[BC]$, on a $\vec{IB} + \vec{IC} = \vec{0}$ et $IB = IC = \frac{1}{2} BC$. La relation se simplifie ainsi :
$$AB^2 + AC^2 = 2 AI^2 + 2 \left(\frac{BC}{2}\right)^2 = 2 AI^2 + \frac{1}{2} BC^2$$
Étape 5
On remplace par les valeurs connues ($AB = 7$, $AC = 9$ et $AI = 7$) :
$$7^2 + 9^2 = 2 \times 7^2 + \frac{1}{2} BC^2$$
$$49 + 81 = 98 + \frac{1}{2} BC^2$$
$$130 = 98 + \frac{1}{2} BC^2$$
Étape 6
On isole $\frac{1}{2} BC^2$ :
$$\frac{1}{2} BC^2 = 130 - 98 = 32$$
$$BC^2 = 64$$
Étape 7
Une longueur étant un nombre positif, on en déduit que $BC = \sqrt{64} = 8$.
Méthode clé
Exprimer $AB^2 + AC^2$ à l'aide de $(\vec{AI}+\vec{IB})^2 + (\vec{AI}+\vec{IC})^2$ pour relier la médiane aux côtés du triangle.
Piège à éviter
Confondre la longueur $BC$ avec la demi-longueur $IB$ ou oublier que $\vec{IB} + \vec{IC} = \vec{0}$.
