Théorème d'Al-Kashi & Problèmes géométriques
L'essentiel du cours (1 notion)
Théorème d'Al-Kashi dans le triangle
Propriété : Dans tout triangle $ABC$, on a : $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})$.
Méthode : 1. Repérer le côté opposé à l'angle étudié. 2. Écrire la formule d'Al-Kashi correspondante. 3. Isoler la longueur ou le cosinus de l'angle recherché.
Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 4$, $AC = 6$ et $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 12$.
À l'aide du produit scalaire, déterminer la valeur exacte de $BC^2$.
Saisir la valeur de $BC^2$.
Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 4$, $AC = 6$ et $\widehat{BAC} = 60^\circ$.
Soit $M$ le milieu du segment $[BC]$.
Saisir la valeur exacte de $AM^2$.
Soit $ABC$ un triangle tel que $AC = 5$, $BC = 7$ et $\widehat{BAC} = 60^\circ$. On note $AB = x$, où $x$ est une longueur strictement positive.
En appliquant le théorème d'Al-Kashi dans le triangle $ABC$, déterminer la valeur exacte de $x$.
Saisir la valeur de $x$.
On considère deux triangles $ABC$ et $ACD$ accolés le long du segment $[AC]$.
On donne les mesures suivantes :
- $AB = 5$
- $BC = 8$
- $\widehat{ABC} = 60^\circ$
- $AD = 8$
- $\widehat{CAD} = 120^\circ$
Déterminer la longueur du côté $[CD]$.
Saisir la valeur numérique de la longueur $CD$.
Un géomètre étudie la structure d'une passerelle reliant deux sommets $B$ et $C$. Pour déterminer la longueur du câble principal $[BC]$, il positionne trois repères au sol $D$, $A$ et $E$ alignés dans cet ordre.
Les relevés de terrain fournissent les mesures suivantes :
- Le triangle $DAB$ est rectangle en $D$, avec $AD = 3\text{ m}$ et $DB = 4\text{ m}$.
- Le triangle $EAC$ est rectangle en $E$, avec $AE = 6\text{ m}$ et $EC = 8\text{ m}$.
Déterminer la valeur exacte de $BC^2$.
Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 4$, $AC = 8$ et $BC = 8$.
On note $I$ le milieu du segment $[BC]$.
Soit $M$ le point de la droite $(AB)$ défini par la relation vectorielle $\vec{AM} = k \,\vec{AB}$, où $k$ est un nombre réel.
Déterminer la valeur du réel $k$ pour laquelle les droites $(CM)$ et $(AI)$ sont orthogonales.