Étape 1
Comme $M$ est le milieu du segment $[BC]$, on a la relation vectorielle :
Étape 2
$$\vec{AM} = \dfrac{1}{2}\left(\vec{AB} + \vec{AC}\right)$$
Étape 3
Calculons le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ à l'aide de l'expression utilisant le cosinus :
Étape 4
$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})$$
Étape 5
En remplaçant par les valeurs données par l'énoncé :
Étape 6
$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \times 6 \times \cos(60^\circ) = 24 \times 0{,}5 = 12$$
Étape 7
Calculons maintenant la valeur de $AM^2$, qui correspond au carré scalaire $\vec{AM}^2$ :
Étape 8
$$AM^2 = \left\lVert \dfrac{1}{2}\left(\vec{AB} + \vec{AC}\right) \right\rVert^2 = \dfrac{1}{4} \left\lVert \vec{AB} + \vec{AC} \right\rVert^2$$
Étape 9
En développant le carré scalaire :
Étape 10
$$AM^2 = \dfrac{1}{4} \left( \vec{AB}^2 + 2\vec{AB} \cdot \vec{AC} + \vec{AC}^2 \right)$$
Étape 11
$$AM^2 = \dfrac{1}{4} \left( AB^2 + 2\vec{AB} \cdot \vec{AC} + AC^2 \right)$$
Étape 12
En substituant les valeurs numériques $AB = 4$, $AC = 6$ et $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 12$ :
Étape 13
$$AM^2 = \dfrac{1}{4} \left( 4^2 + 2 \times 12 + 6^2 \right) = \dfrac{1}{4} (16 + 24 + 36) = \dfrac{1}{4} \times 76 = 19$$
Étape 14
La valeur exacte de $AM^2$ est $19$.
Méthode clé
Pour calculer la longueur d'une médiane sans connaître la longueur du troisième côté, on exprime le vecteur médiane comme la moyenne des deux vecteurs côtés adjacents, puis on élève au carré scalaire.
Piège à éviter
Confondre le carré de la somme de deux longueurs $(AB + AC)^2$ avec la norme au carré de la somme vectorielle $\lVert\vec{AB} + \vec{AC}\rVert^2$, qui nécessite l'ajout du produit scalaire $2\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
