Exercice : Théorème d'Al-Kashi & Problèmes géométriques

Étape 1

Commençons par déterminer la valeur du produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$. En utilisant la formule exprimée avec les normes de vecteurs :

Étape 2

$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2} \left( AB^2 + AC^2 - BC^2 \right)$$

Étape 3

En remplaçant par les longueurs fournies $AB = 4$, $AC = 8$ et $BC = 8$ :

Étape 4

$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2} \left( 4^2 + 8^2 - 8^2 \right) = \frac{1}{2} \times 16 = 8$$

Étape 5

Exprimons à présent les vecteurs $\vec{AI}$ et $\vec{CM}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. Comme $I$ est le milieu du segment $[BC]$, on a :

Étape 6

$$\vec{AI} = \frac{1}{2} \left( \vec{AB} + \vec{AC} \right)$$

Étape 7

En appliquant la relation de Chasles pour le vecteur $\vec{CM}$ :

Étape 8

$$\vec{CM} = \vec{CA} + \vec{AM} = -\vec{AC} + k \,\vec{AB}$$

Étape 9

Les droites $(CM)$ et $(AI)$ sont orthogonales si et seulement si les vecteurs $\vec{CM}$ et $\vec{AI}$ sont orthogonaux, ce qui équivaut à un produit scalaire nul :

Étape 10

$$\vec{CM} \cdot \vec{AI} = 0$$

Étape 11

Développons ce produit scalaire :

Étape 12

$$\vec{CM} \cdot \vec{AI} = \left( k \,\vec{AB} - \vec{AC} \right) \cdot \frac{1}{2} \left( \vec{AB} + \vec{AC} \right)$$

Étape 13

$$= \frac{1}{2} \left( k \,\vec{AB} \cdot \vec{AB} + k \,\vec{AB} \cdot \vec{AC} - \vec{AC} \cdot \vec{AB} - \vec{AC} \cdot \vec{AC} \right)$$

Étape 14

$$= \frac{1}{2} \left( k \, AB^2 + (k - 1) \,\vec{AB} \cdot \vec{AC} - AC^2 \right)$$

Étape 15

En substituant $AB^2 = 16$, $AC^2 = 64$ et $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 8$ :

Étape 16

$$\vec{CM} \cdot \vec{AI} = \frac{1}{2} \left( 16k + 8(k - 1) - 64 \right) = \frac{1}{2} (24k - 72) = 12k - 36$$

Étape 17

L'orthogonalité recherchée équivaut donc à résoudre l'équation :

Étape 18

$$12k - 36 = 0 \quad \text{soit} \quad k = 3$$