Exercice : Théorème d'Al-Kashi & Problèmes géométriques

Étape 1

D'après la relation de Chasles, on exprime le vecteur $\vec{BC}$ à l'aide des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ :

Étape 2

$$\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC} = \vec{AC} - \vec{AB}$$

Étape 3

En passant aux normes au carré, on obtient le carré scalaire :

Étape 4

$$BC^2 = \Vert\vec{BC}\Vert^2 = (\vec{AC} - \vec{AB})^2$$

Étape 5

On développe ce carré scalaire à l'aide des identités remarquables vectorielles :

Étape 6

$$BC^2 = \Vert\vec{AC}\Vert^2 - 2 \vec{AB} \cdot \vec{AC} + \Vert\vec{AB}\Vert^2$$

Étape 7

On remplace les longueurs et le produit scalaire par leurs valeurs numériques données dans l'énoncé :

Étape 8

$$BC^2 = 6^2 - 2 \times 12 + 4^2$$

Étape 9

$$BC^2 = 36 - 24 + 16 = 28$$