Étape 1
Dans le triangle $ABC$, on applique le théorème d'Al-Kashi avec l'angle connu $\widehat{BAC}$ :
Étape 2
$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})$$
Étape 3
En remplaçant par les valeurs données par l'énoncé ($BC = 7$, $AC = 5$, $AB = x$ et $\widehat{BAC} = 60^\circ$) :
Étape 4
$$7^2 = x^2 + 5^2 - 2 \times x \times 5 \times \cos(60^\circ)$$
Étape 5
Comme $\cos(60^\circ) = 0{,}5$, on obtient :
Étape 6
$$49 = x^2 + 25 - 10x \times 0{,}5$$
Étape 7
$$49 = x^2 - 5x + 25$$
Étape 8
Ce qui équivaut à l'équation du second degré suivante :
Étape 9
$$x^2 - 5x - 24 = 0$$
Étape 10
On calcule le discriminant $\Delta$ de ce trinôme :
Étape 11
$$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times (-24) = 25 + 96 = 121$$
Étape 12
Comme $\Delta > 0$, l'équation admet deux solutions réelles :
Étape 13
$$x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{121}}{2 \times 1} = \frac{5 - 11}{2} = -3$$
Étape 14
$$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{121}}{2 \times 1} = \frac{5 + 11}{2} = 8$$
Étape 15
Une longueur $x = AB$ étant nécessairement strictement positive, la valeur $-3$ est rejetée.
Étape 16
La seule valeur retenue est $x = 8$.
Méthode clé
Appliquer le théorème d'Al-Kashi en isolant le carré du côté opposé à l'angle connu pour poser une équation d'inconnue la longueur cherchée.
Piège à éviter
Confondre l'angle utilisé dans la formule ou conserver la solution négative de l'équation du second degré alors qu'une longueur est toujours positive.
