Étape 1
Pour déterminer la longueur $CD$, il convient d'abord de calculer la longueur du segment commun $[AC]$ dans le triangle $ABC$.
Étape 2
Dans le triangle $ABC$, d'après le théorème d'Al-Kashi : $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos(\widehat{ABC})$$
Étape 3
En remplaçant par les valeurs de l'énoncé : $$AC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \times 5 \times 8 \times \cos(60^\circ)$$ Comme $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, on obtient : $$AC^2 = 25 + 64 - 80 \times \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49$$ D'où $AC = \sqrt{49} = 7$.
Étape 4
On applique à nouveau le théorème d'Al-Kashi dans le triangle $ACD$ pour exprimer $CD^2$ : $$CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 \times AC \times AD \times \cos(\widehat{CAD})$$
Étape 5
En substituant $AC = 7$, $AD = 8$ et $\widehat{CAD} = 120^\circ$ : $$CD^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \times 7 \times 8 \times \cos(120^\circ)$$ Sachant que $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, on calcule : $$CD^2 = 49 + 64 - 112 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = 113 + 56 = 169$$
Étape 6
On en déduit que $CD = \sqrt{169} = 13$.
Méthode clé
Dans un triangle quelconque, la relation d'Al-Kashi permet de calculer un côté connaissant les deux autres côtés et leur angle formé.
Piège à éviter
Attention au cosinus d'un angle obtus : $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, le terme soustrait devient donc positif.
