Étape 1
Étape 1 : Calcul des longueurs $AB$ et $AC$.
Étape 2
Dans le triangle $DAB$ rectangle en $D$, d'après le théorème de Pythagore : $$AB^2 = AD^2 + DB^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$ D'où : $$AB = 5$$
Étape 3
Dans le triangle $EAC$ rectangle en $E$, d'après le théorème de Pythagore : $$AC^2 = AE^2 + EC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$ D'où : $$AC = 10$$
Étape 4
Étape 2 : Détermination de $\cos(\widehat{BAC})$.
Étape 5
Dans le triangle $DAB$ rectangle en $D$ : $$\cos(\widehat{DAB}) = \frac{AD}{AB} = \frac{3}{5} = 0{,}6$$ et $$\sin(\widehat{DAB}) = \frac{DB}{AB} = \frac{4}{5} = 0{,}8$$
Étape 6
Dans le triangle $EAC$ rectangle en $E$ : $$\cos(\widehat{EAC}) = \frac{AE}{AC} = \frac{6}{10} = 0{,}6$$ et $$\sin(\widehat{EAC}) = \frac{EC}{AC} = \frac{8}{10} = 0{,}8$$
Étape 7
Les points $D$, $A$ et $E$ étant alignés dans cet ordre, l'angle $\widehat{DAE}$ est un angle plat ($180^\circ$). Ainsi : $$\widehat{BAC} = 180^\circ - (\widehat{DAB} + \widehat{EAC})$$
Étape 8
On applique la propriété des angles supplémentaires : $$\cos(\widehat{BAC}) = -\cos(\widehat{DAB} + \widehat{EAC})$$
Étape 9
Par la formule d'addition du cosinus : $$\cos(\widehat{DAB} + \widehat{EAC}) = \cos(\widehat{DAB})\cos(\widehat{EAC}) - \sin(\widehat{DAB})\sin(\widehat{EAC}) = 0{,}6 \times 0{,}6 - 0{,}8 \times 0{,}8 = 0{,}36 - 0{,}64 = -0{,}28$$
Étape 10
On en déduit donc que : $$\cos(\widehat{BAC}) = -(-0{,}28) = 0{,}28$$
Étape 11
Étape 3 : Calcul de $BC^2$ par le théorème d'Al-Kashi.
Étape 12
Dans le triangle $ABC$, la formule d'Al-Kashi donne : $$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})$$
Étape 13
En remplaçant par les valeurs obtenues : $$BC^2 = 5^2 + 10^2 - 2 \times 5 \times 10 \times 0{,}28 = 25 + 100 - 100 \times 0{,}28 = 125 - 28 = 97$$
Méthode clé
Pour calculer le côté opposé à un angle connu dans un triangle quelconque dont on connaît deux côtés, on utilise le théorème d'Al-Kashi : $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})$.
Piège à éviter
Oublier d'utiliser la relation d'angles supplémentaires $\cos(180^\circ - x) = -\cos(x)$ lors de l'expression de l'angle central.
