Exercice : Propriétés du produit scalaire

Étape 1

Par bilinéarité du produit scalaire, on développe l'expression donnée :

Étape 2

$$(2\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + 3\vec{v}) = 2\vec{u} \cdot \vec{u} + 6\vec{u} \cdot \vec{v} - \vec{v} \cdot \vec{u} - 3\vec{v} \cdot \vec{v}$$

Étape 3

On utilise la symétrie du produit scalaire $\vec{v} \cdot \vec{u} = \vec{u} \cdot \vec{v}$ ainsi que la propriété $\vec{x} \cdot \vec{x} = \|\vec{x}\|^2$ :

Étape 4

$$(2\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + 3\vec{v}) = 2\|\vec{u}\|^2 + 5(\vec{u} \cdot \vec{v}) - 3\|\vec{v}\|^2$$

Étape 5

On remplace à présent chaque terme par sa valeur donnée dans l'énoncé :

Étape 6

$$\|\vec{u}\|^2 = 3^2 = 9$$

Étape 7

$$\|\vec{v}\|^2 = 2^2 = 4$$

Étape 8

D'où le calcul numérique :

Étape 9

$$(2\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + 3\vec{v}) = 2 \times 9 + 5 \times 4 - 3 \times 4$$

Étape 10

$$(2\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + 3\vec{v}) = 18 + 20 - 12 = 26$$