Exercice : Méthodes de calcul du produit scalaire

Étape 1

Dans une base orthonormée $(\vec{i}, \vec{j})$, l'abscisse d'un vecteur $\vec{v}$ correspond au produit scalaire $\vec{v} \cdot \vec{i}$.

Étape 2

Déterminons d'abord le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{i}$ à partir de l'expression de $\vec{u}$ :

Étape 3

$$\vec{u} \cdot \vec{i} = (4\vec{i} - 3\vec{j}) \cdot \vec{i} = 4(\vec{i} \cdot \vec{i}) - 3(\vec{j} \cdot \vec{i})$$

Étape 4

Puisque la base $(\vec{i}, \vec{j})$ est orthonormée, on a $\vec{i} \cdot \vec{i} = 1$ et $\vec{j} \cdot \vec{i} = 0$. On en déduit :

Étape 5

$$\vec{u} \cdot \vec{i} = 4 \times 1 - 3 \times 0 = 4$$

Étape 6

Calculons à présent le produit scalaire $\vec{v} \cdot \vec{i}$ pour trouver l'abscisse du vecteur $\vec{v}$ :

Étape 7

$$\vec{v} \cdot \vec{i} = (2\vec{u} + 3\vec{j}) \cdot \vec{i} = 2(\vec{u} \cdot \vec{i}) + 3(\vec{j} \cdot \vec{i})$$

Étape 8

En remplaçant par les valeurs connues :

Étape 9

$$\vec{v} \cdot \vec{i} = 2 \times 4 + 3 \times 0 = 8$$

Étape 10

L'abscisse du vecteur $\vec{v}$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j})$ est donc $8$.