Exercice : Méthodes de calcul du produit scalaire

Étape 1

Soit $H$ le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$.

Étape 2

D'après la propriété de la projection orthogonale pour le produit scalaire, on a : $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}$$

Étape 3

Comme le point $H$ appartient au segment $[AB]$, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ ont la même direction et le même sens.

Étape 4

Le produit scalaire est donc égal au produit de leurs longueurs : $$\vec{AB} \cdot \vec{AH} = AB \times AH$$

Étape 5

En remplaçant par les données de l'énoncé $AB = 6$ et $AH = 4$, on obtient : $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 6 \times 4 = 24$$