Étape 1
Soit $H$ le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$.
Étape 2
Le quadrilatère $ADCH$ possède trois angles droits (en $A$, $D$ et $H$), c'est donc un rectangle. On en déduit que : $$AH = CD = 3 \quad \text{et} \quad CH = AD = 4$$
Étape 3
Le triangle $CHB$ est rectangle en $H$. D'après le théorème de Pythagore : $$BC^2 = CH^2 + HB^2$$ $$5^2 = 4^2 + HB^2$$ $$25 = 16 + HB^2$$ D'où $HB^2 = 9$, soit $HB = 3$.
Étape 4
On calcule alors la longueur totale du segment $[AB]$ : $$AB = AH + HB = 3 + 3 = 6$$
Étape 5
Par définition de la projection orthogonale, $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$, donc : $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}$$
Étape 6
Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ étant colinéaires et de même sens, leur produit scalaire est égal au produit de leurs longueurs : $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AH = 6 \times 3 = 18$$
Méthode clé
Pour calculer un produit scalaire avec la projection orthogonale, on remplace l'un des deux vecteurs par son projeté orthogonal sur la droite portée par l'autre vecteur.
Piège à éviter
Oublier de calculer la longueur totale de la base $[AB]$ avant d'effectuer le produit des longueurs.
