Exercice : Méthodes de calcul du produit scalaire

★ Standard Réussi

Soient deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ du plan tels que :

$\|\vec{u}\| = 6$
$\|\vec{v}\| = 5$
L'angle géométrique formé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$ mesure $\dfrac{\pi}{3}\text{ rad}$.

Saisir la valeur du produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

Figure donnée à titre indicatif

Indice 1 : Pensez à la formule qui exprime le produit scalaire en fonction des normes et du cosinus de l'angle.

Indice 2 : Utilisez la valeur remarquable de $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$, qui est égale à $0{,}5$.

Mauvaise réponse. Réessaye !

✓

Réponse finale

Étape 1

D'après la définition du produit scalaire avec le cosinus :

Étape 2

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\left(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}\right)$$

Étape 3

En remplaçant par les données de l'énoncé :

Étape 4

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 6 \times 5 \times \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$$

Étape 5

On sait que $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 0{,}5$. On calcule alors :

Étape 6

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 30 \times 0{,}5 = 15$$

Étape 7

Le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ est égal à $15$.

Méthode clé

Le produit scalaire de deux vecteurs s'obtient en multipliant leurs normes respectives par le cosinus de l'angle qu'ils forment.

Piège à éviter

Confondre la valeur de $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ avec celle de $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$.