Exercice : Méthodes de calcul du produit scalaire

Étape 1

Dans une base orthonormée $(\vec{i}, \vec{j})$, tout vecteur $\vec{u}$ se décompose sous la forme : $$\vec{u} = (\vec{u} \cdot \vec{i})\vec{i} + (\vec{u} \cdot \vec{j})\vec{j}$$ Ainsi, l'abscisse de $\vec{u}$ est égal à $\vec{u} \cdot \vec{i}$ et son ordonnée est égale à $\vec{u} \cdot \vec{j}$.

Étape 2

Utilisons la propriété de distributivité du produit scalaire sur l'expression de $\vec{u} \cdot \vec{v}$ : $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot (2\vec{i} - 5\vec{j}) = 2(\vec{u} \cdot \vec{i}) - 5(\vec{u} \cdot \vec{j})$$

Étape 3

En remplaçant par les valeurs données dans l'énoncé, soit $\vec{u} \cdot \vec{i} = 3$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = 21$, nous obtenons l'équation : $$21 = 2 \times 3 - 5(\vec{u} \cdot \vec{j})$$

Étape 4

Ce qui équivaut à : $$21 = 6 - 5(\vec{u} \cdot \vec{j})$$ $$15 = -5(\vec{u} \cdot \vec{j})$$ $$\vec{u} \cdot \vec{j} = -3$$

Étape 5

La base $(\vec{i}, \vec{j})$ étant orthonormée, l'ordonnée du vecteur $\vec{u}$ est égale à $\vec{u} \cdot \vec{j}$, soit $-3$.