Exercice : Représentations graphiques et modélisation

Étape 1

La fonction $T$ est dérivable sur $[0 ; +\infty[$ comme somme et produit de fonctions dérivables.

Étape 2

Pour tout $t \ge 0$, posons $u(t) = a t + 15$ et $v(t) = e^{-0{,}1 t}$. Leurs dérivées sont $u'(t) = a$ et $v'(t) = -0{,}1 e^{-0{,}1 t}$.

Étape 3

En appliquant la formule de dérivation d'un produit $(u v)' = u' v + u v'$, on obtient pour tout $t \ge 0$ :$$T'(t) = a e^{-0{,}1 t} + (a t + 15) \times (-0{,}1 e^{-0{,}1 t}) + 0$$

Étape 4

En factorisant par $e^{-0{,}1 t}$, il vient :$$T'(t) = e^{-0{,}1 t} \left( a - 0{,}1 a t - 1{,}5 \right)$$

Étape 5

Puisque la fonction $T$ atteint son maximum en $t = 5$, la dérivée $T'(t)$ s'annule en cet instant, soit $T'(5) = 0$.

Étape 6

En remplaçant $t$ par $5$ dans l'expression de la dérivée, on obtient :$$e^{-0{,}1 \times 5} \left( a - 0{,}1 \times a \times 5 - 1{,}5 \right) = 0$$

Étape 7

Puisque la fonction exponentielle ne s'annule jamais, $e^{-0{,}5} \neq 0$. L'équation équivaut donc à :$$a - 0{,}5 a - 1{,}5 = 0$$

Étape 8

Ce qui donne :$$0{,}5 a = 1{,}5$$d'où $a = 3$.