Exercice : Représentations graphiques et modélisation

Étape 1

D'après les données de l'énoncé, la masse au cours du temps vérifie $M(t) = M_0 e^{kt}$. On traduit les deux mesures effectuées :$$M(2) = M_0 e^{2k} = 40$$ $$M(5) = M_0 e^{5k} = 5$$

Étape 2

Pour éliminer la constante $M_0$, on calcule le quotient de $M(5)$ par $M(2)$ :$$\frac{M(5)}{M(2)} = \frac{M_0 e^{5k}}{M_0 e^{2k}} = e^{5k - 2k} = e^{3k}$$D'autre part, en utilisant les valeurs numériques :$$\frac{M(5)}{M(2)} = \frac{5}{40} = 0{,}125$$On obtient donc l'égalité $$e^{3k} = 0{,}125$$

Étape 3

On remarque que $0{,}125 = 0{,}5^3$. De plus, d'après les propriétés de l'exponentielle, $e^{3k} = (e^k)^3$. On en déduit :$$(e^k)^3 = 0{,}5^3$$Ce qui équivaut à $$e^k = 0{,}5$$

Étape 4

On remplace désormais $e^k$ par $0{,}5$ dans la première équation $M(2) = 40$ :$$M(2) = M_0 (e^k)^2 = M_0 \times 0{,}5^2 = 0{,}25 M_0$$D'où l'équation $$0{,}25 M_0 = 40$$Soit $$M_0 = \frac{40}{0{,}25} = 160$$La masse initiale de la substance médicamenteuse était donc de $160\text{ mg}$.